Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Ta có: $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$

Ta cần chứng minh:

$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq (a+b+c)^3$

$⇔ a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a) \geq a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$

$⇔ a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca \geq a^3+b^3+c^3$

Vì $a ∈ [1; 2]$ nên $a(a-1)(a-2) \leq 0$

$⇔ a^3-3a^2+2a \leq 0$

$⇔ a^3 \leq 3a^2-2a$

Tương tự: $b^3 \leq 3b^2-2b$

$c^3 \leq 3c^2-2c$

Cộng từng vế $3$ bất đẳng thức trên ta được:

$a^3+b^3+c^3 \leq 3a^2+3b^2+3c^2-2a-2b-2c$

Khi đó ta cần chứng minh:

$3a^2+3b^2+3c^2-2a-2b-2c \leq a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$

$⇔ 2a^2+2b^2+2c^2 \leq 2a+2b+2c+ab+bc+ca$

Vì $a, b, c ∈ [1; 2]$ nên $(a-1)(a-2) \leq 0$

$⇔ a^2-3a+2 \leq 0$

Tương tự: $b^2-3b+2 \leq 0$

$c^2-3c+2 \leq 0$

Từ đó: $a^2+b^2+c^2 \leq 3a+3b+3c-6$

$⇔ 2a^2+2b^2+2c^2 \leq 6a+6b+6c-12$

Khi đó ta cần chứng minh:

$6a+6b+6c-12 \leq 2a+2b+2c+ab+bc+ca$

$⇔ 4a+4b+4c-12 \leq ab+bc+ca$

Mặt khác: $a, b, c ∈ [1; 2]$

$⇒ (a-2)(b-2) \geq 0$

$⇔ ab-2a-2b+4 \geq 0$

$⇔ ab \geq 2a+2b-4$

Tương tự: $bc \geq 2b+2c-4$

$ca \geq 2c+2a-4$

Từ đó suy ra: $ab+bc+ca \geq 4a+4b+4c-12$

Hay $4a+4b+4c-12 \leq ab+bc+ca$

$⇒ đpcm$

Dấu $"="$ xảy ra khi $(a; b; c)=(1; 2; 2)$ và các hoán vị.

Đpcm ⇔ a²+b²+c²+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a)≥(a+b+c)³

⇔a²+b²+c²+ab+bc+ca+3(a+b)(b+c)(c+a)≥a³+b³+c³+3.(a+b)(b+c)(c+a)

⇔a²+b²+c²+ab+bc+ca≥a³+b³+c³ (*)

Vì a thuộc [1,2] nên a(a-1)(a-2)≤≤0

⇔a(a²-a-2a+2)≤0

⇔a(a²-3a+2)≤0

Nên a³≤3a²-2a

Tương Tự  b³≤3b²-2b

c³≤3c²-2c

Suy ra a³+b³+c³≤3(a²+b+c²)-2(a+b+c)

Nên để chứng minh (*)  ta chứng minh

  3(a²+b+c²)-2(a+b+c)≤a²+b²+c²+ab+bc+ca

⇔2(a²+b²+c²)≤ab+bc+ca+2(a+b+c)

Vì a thuộc [1,2] nên (a-1)(a-2)≤0

⇔a²≤3.a-2

Tương tự b²≤3b-2

c²≤3c-2

Suy ra a²+b²+c²≤3(a+b+c)-6

⇔2(a²+b²+c²)≤6(a+b+c)-12

Nên ta chứng minh 

6(a+b+c)-12≤ab+bc+ca+2(a+b+c)

⇔ 4(a+b+c)≤ab+bc+ca+12

Ta có vì a thuộc [1,2] nên (a-2)(b-2)≥0

⇔ab-2a-2b+4≥0

⇔ab+4≥2a+2b

Tương tự bc+4≥2b+2c

ca+4≥2c+2a

Suy ra ab+bc+ca+12≥4(a+b+c) (DPcm)