Đáp án: 

$\\$

`a,`

Do `ΔABC` cân tại `A` (giả thiết)

`-> AB=AC`

Do `CE⊥AB` (giả thiết)

`-> hat{AEC}=90^o`

Do `BD⊥AC` (giả thiết)

`-> hat{ADB}=90^o`

Xét `ΔABD` và `ΔACE` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^o\\\widehat{A}  \text{chung} \\\text{AB=AC (chứng minh trên)}\end{array} \right.\)

`-> ΔABD = ΔACE` (cạnh huyền - góc nhọn)

$\\$

$\\$

`b,`

Do `ΔABD = ΔACE` (chứng minh trên)

`-> hat{ABD}=hat{ACE}` (2 góc tương ứng)

Do `ΔABC` cân tại `A` (giả thiết)

`-> hat{B}=hat{C}`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{HBC}+\widehat{ABD}=\widehat{B}\\ \widehat{HCB}+\widehat{ACE}=\widehat{C}\end{array} \right.\)

mà `hat{ABD}=hat{ACE}` (chứng minh trên), `hat{B}=hat{C}` (chứng minh trên)

`-> hat{HBC}=hat{HCB}`

`-> ΔBHC` cân tại `H`

$\\$

$\\$

`c,`

Do `ΔBHC` cân tại `H`

`-> HB =HC`

Xét `ΔHDC` có :

`hat{HDC}=90^o`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`HC` là cạnh lớn nhất

`-> HC > HD`

mà `HB=HC` (chứng minh trên)

`-> HB > HD`

$\\$

$\\$

`d,`

Gọi `Q` là giao của `BN` và `CM` `(1)`

Do `ΔABD = ΔACE` (chứng minh trên)

`-> AE=AD` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔAEH` và `ΔADH` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o\\ \text{AH chung} \\\text{AE=AD (chứng minh trên)}\end{array} \right.\)

`-> ΔAEH = ΔADH` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

`-> hat{AHE} = hat{AHD}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{QHN} = hat{QHM}`

Xét `ΔQHN` và `ΔQHM` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{QHN}=\widehat{QHM} \text{(chứng minh trên)}\\ \text{QH chung} \\\text{NH=MH (giả thiết)}\end{array} \right.\)

`-> ΔQHN = ΔQHM` (cạnh - góc - cạnh)

`-> NQ = MQ` (2 cạnh tương ứng)

Xét `ΔNHB` và `ΔMHC` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{NHB}=\widehat{MHC} \text{(2 góc đối đỉnh)}\\ \text{HB=HC (chứng minh trên} \\\text{NH=MH (giả thiết)}\end{array} \right.\)

`-> ΔNHB = ΔMHC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> NB = MC` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}NQ +NB=QB\\MQ + MC=QC\end{array} \right.\)

mà `NQ=MQ` (chứng minh trên), `NB=MC` (chứng minh trên)

`-> QB=QC`

`-> Q` nằm trên đường trung trực của `BC` `(2)`

Có : `AB=AC` (chứng minh trên)

`-> A` nằm trên đường trung trực của `BC` `(3)`

Có : `HB=HC` (chứng minh trên)

`-> H` nằm trên đường trung trực của `BC` `(4)`

Từ `(2), (3), (4)`

`-> A,Q,H` thẳng hàng

hay `AH` đi qua `Q` `(5)`

Từ `(1), (5)`

`-> BN, AH, MC` đồng quy tại `Q`