Đáp án:

$GTNN$ của $D$ là $6$ khi và chỉ khi $-2 \leqslant x \leqslant 1$

Giải thích các bước giải:

$\quad D = |x-1| + |x+2| + 3$

$\Leftrightarrow D = |1 - x| + |x+2| +3$

Áp dụng bất đẳng thức trị tuyệt đối, ta có:

$\quad |1 - x| + |x+2|\geqslant |1- x + x +2| = 3$

$\Leftrightarrow |1-x| + |x+2| + 3 \geqslant 6$

Hay $D \geqslant 6$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow (1-x)(x+2) \geqslant 0$

$+)\quad \begin{cases}1 - x \geqslant 0\\x + 2 \geqslant 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x \leqslant 1\\x \geqslant -2\end{cases}$

$\Leftrightarrow - 2 \leqslant x \leqslant 1$

$+)\quad \begin{cases}1 - x \leqslant 0\\x + 2 \leqslant 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x \geqslant 1\\x \leqslant -2\end{cases}$

$\Leftrightarrow x \in \varnothing$

Vậy $GTNN$ của $D$ là $6$ khi và chỉ khi $-2 \leqslant x \leqslant 1$

`~rai~`

\(D=|x-1|+|x+2|+3\\\quad=|-(x-1)|+|x+2|+3\quad(|A|=|-A|)\\\quad=|1-x|+|x+2|+3\\\quad\ge |(1-x)+(x+2)|+3\\\quad=|1-x+x+2|+3\\\quad=|3|+3=3+3=6.\\\text{Dấu "=" xảy ra}\Leftrightarrow (1-x)(x+2)\ge 0\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}\begin{cases}1-x\ge 0\\x+2\ge 0\end{cases}\\\begin{cases}1-x\le 0\\x+2\le 0\end{cases}\end{array}\right.\\\Leftrightarrow \left[\begin{array}{I}\begin{cases}x\ge 1\\x\ge -2\end{cases}\\\begin{cases}x\ge 1\\x\le -2\end{cases}\quad\text{(vô lí)}\end{array}\right.\\\Leftrightarrow -2\le x\le 1.\\Vậy\quad Min_{D}=6\quad khi\quad -2\le x\le 1.\\\text{Giải thích:Ta sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :}\\|A|+|B|\ge |A+B|\\\text{Dấu "=" xảy ra}\Leftrightarrow AB\ge 0.\)