Lời giải:

a) Xét $\triangle AKB$ và $\triangle AKE$ có:

$\begin{cases}\widehat{AKB} = \widehat{AKE} = 90^\circ\\AK:\ \text{cạnh chung}\\KB = KE\quad (gt)\end{cases}$

Do đó $\triangle AKB = \triangle AKE \ (c.g.c)$

b) Xét $\triangle AKB$ vuông tại $K$ có:

$\widehat{BAK} + \widehat{ABK} = 90^\circ$

hay $\widehat{BAK} + \widehat{ABC} = 90^\circ$

Xét $\triangle ABC$ vuông tại $A$ có:

$\widehat{ACB} + \widehat{ABC} = 90^\circ$

Do đó: $\widehat{BAK} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ $\widehat{ABC}$)

c) Xét $\triangle CDE$ vuông tại $D$ có:

$\widehat{DCE} + \widehat{DEC} = 90^\circ$

mà $\widehat{DEC} = \widehat{KEA}$ (đối đỉnh)

nên $\widehat{DCE} + \widehat{KEA} = 90^\circ$

Ta lại có: $\widehat{KEA} + \widehat{KAE} = 90^\circ\ \ (\triangle KAE$ vuông tại $K$)

$\Rightarrow \widehat{DCE} = \widehat{KAE}$

Mặt khác: $\triangle AKB = \triangle AKE$ (câu a)

$\Rightarrow \widehat{BAK} = \widehat{EAK}$ (hai góc tương ứng)

Do đó: $\widehat{DCE} = \widehat{BAK}$

mà $\widehat{BAK} = \widehat{ACB}$ (câu b)

nên $\widehat{DCE} = \widehat{ACB}$

$\Rightarrow CB$ là tia phân giác của $\widehat{ACD}$

d) Xét $\triangle ACH$ có:

$AD$ là đường cao ứng với cạnh $CH\quad (AD\perp CD)$

$CK$ là đường cao ứng với cạnh $AH\quad (AK\perp BC)$

$AD$ cắt $CK$ tại $E$

$\Rightarrow E$ là trực tâm $\triangle ACH$

$\Rightarrow HE$ là đường cao ứng với cạnh $AC$

$\Rightarrow HE\perp AC$

Ta lại có: $AB\perp AC\quad (gt)$

Do đó: $HE//AB$

Đáp án:

$\\$

GT :

`ΔABC` vuông tại `A, AC > AB`

`AK⊥BC (K ∈ BC)`

`E ∈ KC, KE = KB`

`CD⊥AD (D ∈ AE)`

`H` là giao của `AK` và `CD`

KL :

`a, ΔAKB = ΔAKE`

`b, hat{BAK} = hat{ACB}`

`c, CB` là tia phân giác của `hat{ACD}`

$d, HE//AB$

$\\$

Bài làm.

`a,`

Do `AK⊥BC` (giả thiết)

`-> hat{AKB} = hat{AKE} = 90^o`

Xét `ΔAKB` và `ΔAKE` có :

\(\left\{ \begin{array}{l}\text{AK chung}\\ \text{KB=KE (giả thiết)}\\ \widehat{AKB}=\widehat{AKE}=90^o \text{(chứng minh trên)}\end{array} \right.\)

`-> ΔAKB = ΔAKE` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

`b,`

Do `ΔABC` vuông tại `A` (giả thiết)

`-> hat{B} + hat{ACB} = 90^o`

Có : `AK⊥BC` (giả thiết)

`-> ΔAKB` vuông tại `K`

`-> hat{BAK} + hat{B}=90^o`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{B}+\widehat{ACB}=90^o\\ \widehat{BAK}+\widehat{B}=90^o\end{array} \right.\) (chứng minh trên)

Suy ra : `hat{ACB} = hat{BAK}`

$\\$

`c,`

Do `ΔAKB = ΔAKE` (chứng minh trên)

`-> hat{ABK} = hat{AEK}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{ABC} = hat{AEB}`

Do `ΔABC` vuông tại `A` (giả thiết)

`-> hat{ACB} + hat{ABC} = 90^o`

Có : `CD⊥AD` (giả thiết)

`-> ΔCDE` vuông tại `D`

`-> hat{DCE} + hat{DEC} = 90^o`

mà `hat{DEC} = hat{AEB}` (2 góc đối đỉnh)

`-> hat{DCE} + hat{AEB}= 90^o`

Lại có : `hat{ABC} = hat{AEB}` (chứng minh trên)

`-> hat{DCE} + hat{ABC} = 90^o`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=90^o\\ \widehat{DCE}+\widehat{ABC}=90^o\end{array} \right.\) (chứng minh trên)

Suy ra : `hat{DCE} = hat{ACB}`

hay `CD` là tia phân giác của `hat{ACD}`

$\\$

`d,`

Có : `CD⊥AD` (giả thiết)

hay `AD⊥HC`

`-> AD` là đường cao của `ΔAHC`

Có : `CK⊥AK` (giả thiết)

hay `CK⊥AH`

`-> CK` là đường cao của `ΔAHC`

Xét `ΔAHC` có :

`CK` là đường cao

`AD` là đường cao

`CK` cắt `AD` tại `E`

`-> E` là trực tâm của `ΔAHC`

`-> HE` là đường cao của `ΔAHC`

`-> HE⊥AC`

Do `ΔABC` vuông tại `A` (giả thiết)

`-> AB⊥AC`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}HE⊥AC\\AB⊥AC\end{array} \right.\) (chứng minh trên)

Suy ra : $HE//AB$ (Quan hệ từ vuông góc đến song song)