Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\widehat{AED}=\widehat{AFD}=90^o$

$\to AEDF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AD$

Vì $AM$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to M$ nằm chính giữa cung $BC$

$\to MB=MC$

b.Xét $\Delta BDA, \Delta DAM$ có:

$\widehat{ADB}=\widehat{MDC}$

$\widehat{BAD}=\widehat{BAM}=\widehat{BCM}=\widehat{DCM}$

$\to \Delta ABD\sim\Delta CMD(g.g)$

$\to \dfrac{AD}{CD}=\dfrac{BD}{MD}$

$\to BD.DC=DA.DM$

Xét $\Delta ABD,\Delta AMC$ có:

$\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AMC}$

$\widehat{BAD}=\widehat{CAM}$

$\to\Delta ABD\sim\Delta AMC(g.g)$

$\to\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AD}{AC}$

$\to AB.AC=AM.AD$

$\to AB.AC-DB.DC=AD.AM-DA.DM=DA^2$

c.Ta có $BI$ là phân giác $\widehat{BAC}$

$\to \widehat{BIM}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}=\dfrac12\hat A+\dfrac12\hat B=\widehat{MAC}+\widehat{IBC}=\widehat{MBC}+\widehat{IBC}=\widehat{IBM}$

$\to \Delta MBI$ cân tại $M$

$\to MB=MI$

$\to MB=MI=MC$

Ta có $OM=OC, \widehat{MOC}=2\widehat{MAC}=\widehat{BAC}=60^o$

$\to\Delta OMC$ đều

$\to OM=MC=OC$

$\to MO=MI=MB=MC$

$\to BCOI$ nội tiếp $(M, MO)$

d.Ta có:

$S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ADC}=\dfrac12DE\cdot AB+\dfrac12DF\cdot AC$

Vì $AD$ là phân giác $\hat A, DE\perp AB, DF\perp AC$

$\to DE=DF$

$\to AD$ là trung trực của $EF$

$\to AM\perp EF$

$\to S_{AEMF}=\dfrac12AM\cdot EF$

Ta cần chứng minh  $S_{AEMF}=S_{ABC}$

$\leftrightarrow \dfrac12DE\cdot AB+\dfrac12DF\cdot AC=\dfrac12AM\cdot EF$

$\leftrightarrow DE\cdot AB+DF\cdot AC=AM\cdot EF(1)$

Ta có:

$\Delta AED$ vuông tại $E, \widehat{EAD}=\dfrac12\hat A=30^o$

$\to \Delta ADE$ là nửa tam giác đều

$\to DE=\dfrac12AD$

$\to DE=DF=\dfrac12AD$

Mà $AE=AF, \hat A=60^o\to\Delta AEF$ đều

$\to EF=AE=\dfrac{AD\sqrt3}2$

$(1)\leftrightarrow \dfrac12AD\cdot AB+\dfrac12AD\cdot AC=AM\cdot \dfrac{AD\sqrt3}2$$

$\leftrightarrow (AB+AC)=AM\sqrt3(2)$

Kẻ $MH\perp AB, MG\perp AC\to MH=MG, AH=AG$

Vì $MB=MC, \widehat{BHM}=\widehat{MGC}(=90^o), \widehat{MBH}=\widehat{MCG}$

$\to\Delta BHM=\Delta CGM(g.c.g)$

$\to BH=CG$

$\to AB+AC=AH-HB+AG+GC=AH+AG-HB+GC=AH+AG=2AH=AM\sqrt3$

$\to (2)$ đúng

$\to đpcm$