Lời giải:

Gọi $I$ là trung điểm dây cung $BC$

$\Rightarrow \begin{cases}OI\perp BC\\IB = IC = \dfrac12BC\end{cases}$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)

Dễ dàng chứng minh được $O,I,N,M,A$ cùng thuộc một đường tròn

$\Rightarrow OINM$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{NIM} = \widehat{NOM}$

$\Rightarrow \widehat{NIC} = \widehat{TOD}$

Xét $\triangle NIC$ và $\triangle TOD$ có:

$\begin{cases}\widehat{NIC} = \widehat{TOD}\quad (cmt)\\\widehat{NCI} = \widehat{TDO}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{NB}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\end{cases}$

Do đó: $\triangle NIC\backsim \triangle TOD\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{IC}{OD} = \dfrac{IN}{OT}\qquad (1)$

Mặt khác:

$\widehat{NIC} = \widehat{TOD}\quad (cmt)$

$\widehat{IBN} = \widehat{ODS}$ (cùng chắn $\mathop{NC}\limits^{\displaystyle\frown}$)

$\Rightarrow \widehat{NIC} - \widehat{IBN} = \widehat{TOD} - \widehat{ODS}$

$\Rightarrow \widehat{INB} = \widehat{OSD}$

Xét $\triangle NIB$ và $\triangle SOD$ có:

$\begin{cases}\widehat{IBN} = \widehat{ODS}\quad  \text{(cùng chắn $\mathop{NC}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\\ \widehat{INB} = \widehat{OSD}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó: $\triangle NIB\backsim \triangle SOD\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{IB}{OD} = \dfrac{IN}{OS}\qquad (2)$

$\dfrac{(1)}{(2)}\Rightarrow \dfrac{IC}{IB} = \dfrac{OS}{OT}$

mà $IC = IB = \dfrac12BC$ (cách dựng)

nên $\dfrac{OS}{OT} = 1$

hay $OT = OS$