Đáp án:

$V_{A'B'C'.ABC} = \dfrac{3\sqrt5}{10}$ 

Giải thích các bước giải:

Trong $mp(AA'B'B)$ kẻ $A'$ kẻ $A'H\perp BC\quad (H\in BC)$

Ta có:

$\begin{cases}(AA'B'B)\perp (ABC)\\(AA'B'B)\cap (ABC) = BC\\A'H\perp BC\quad \text{(cách dựng)}\\A'H\subset (AA'B'B)\end{cases}$

$\Rightarrow A'H\perp (ABC)$

Từ $H$ kẻ $HK\perp AC$

Ta được:

$\begin{cases}HK\perp AC\quad\text{(cách dựng)}\\A'H\perp AC\quad (A'H\perp (ABC))\end{cases}$

$\Rightarrow AC\perp (A'HK)$

$\Rightarrow AC\perp A'K$

Khi đó:

$\begin{cases}(AA'C)\cap (ABC) = AC\\A'K\perp AC\quad (cmt)\\A'K\subset (AA'C)\\HK\perp AC\quad \text{(cách dựng)}\\HK\subset (ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((AA'C);(ABC))}=\widehat{A'KH} = 60^\circ$

$\Rightarrow A'H = HK.\tan60^\circ = HK\sqrt3$

Đặt $AH = x\quad (x>0)$

Ta có: $HK//BC\quad (\perp AC)$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{AH}{AB} = \dfrac{HK}{BC}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{AH.BC}{AB} = \dfrac{AH\cdot \dfrac{AB}{\sqrt2}}{AB}$

$\Rightarrow HK = \dfrac{x}{\sqrt 2}$

$\Rightarrow A'H = \dfrac{x\sqrt3}{\sqrt2}$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$\quad AA'^2 = A'H^2 + AH^2$

$\Leftrightarrow 3 = \dfrac{3x^2}{2} + x^2$

$\Leftrightarrow 5x^2 = 6$

$\Leftrightarrow x^2 = \dfrac{6}{5}$

$\Rightarrow x = \dfrac{\sqrt6}{\sqrt5}$

$\Rightarrow A'H = \dfrac{\sqrt6}{\sqrt5}\cdot \dfrac{\sqrt3}{\sqrt2} = \dfrac{3}{\sqrt5}$

Do đó:

$V_{A'B'C'.ABC} = S_{ABC}.A'H = \dfrac12\left(\dfrac{AB}{\sqrt2}\right)^2\cdot A'H$

$\Rightarrow V_{A'B'C'.ABC} = \dfrac12\cdot 1 \cdot \dfrac{3}{\sqrt5} = \dfrac{3\sqrt5}{10}$