Đáp án:Bài này đề thiếu \(m,n \in Z^{+}\) rồi nhé!

Giải thích các bước giải:

Điều cần chứng mình tương đương với \(\sqrt{11}-\dfrac{m}{n} \ge \dfrac{3(\sqrt{11}-3)}{mn}\)

Vì \(m,n \in Z^{+}\)

\(\Rightarrow mn \ge 1\)

Với \(mn=1\) mà \(m,n \in Z^{+}\)

\(\Rightarrow m=n=1\)

Từ giả thiết \(\Rightarrow \sqrt{11}-\dfrac{m}{n}>0\)

\(m=n=1(TM) \Rightarrow \begin{cases}\sqrt{11}-\dfrac{m}{n}=\sqrt{11}-1>\sqrt{9}-1=2\\\dfrac{3\sqrt{11}-9}{mn}=3(\sqrt{11}-3)<3\left(\dfrac{10}{3}-3\right)=1\\\end{cases}\)

\(\Rightarrow \sqrt{11}-\dfrac{m}{n}>\dfrac{3(\sqrt{11}-3)}{mn}\)

Với \(mn=2\) mà \(m,n \in Z^{+}\)

\(\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}m=1\\n=2\\\end{cases}\\\begin{cases}m=2\\n=1\\\end{cases}\end{array} \right.\) 

Tương tự như trên thay vào ta có:\(\sqrt{11}-\dfrac{m}{n}>\dfrac{3(\sqrt{11}-3)}{mn}\)

Đến đây với \(mn \ge 3\) ta sử dụng phương pháp phản chứng.

Giả sử m,n là số nguyên dương sao cho:\(\sqrt{11}-\dfrac{m}{n}<\dfrac{3(\sqrt{11}-3)}{mn}(1)\)

\(\Rightarrow \dfrac{m}{n}>\sqrt{11}-\dfrac{3(\sqrt{11}-3)}{mn} \ge \sqrt{11}-\dfrac{3(\sqrt{11}-3)}{3}=3(2)\)

Mặt khác ta có:

\(\sqrt{11}-\dfrac{m}{n}=\dfrac{\sqrt{11}n-m}{n}=\dfrac{11n^2-m^2}{n(\sqrt{11}n+m)}\)(Nhân liên hợp)

\(\sqrt{11}-\dfrac{m}{n}>0(GT)\)

\(\Rightarrow \sqrt{11}n>m\)

\(\Leftrightarrow 11n^2>m^2\)

Mà \(m,n\) là số nguyên dương.

\(\Rightarrow 11n^2 \ge m^2+1\)

Vì \(m^2\) là số chính phương

\(\Rightarrow m^2≡1,3,4,5,9(mod11)\)

\(\Rightarrow m^2+1≡2,4,6,10(mod11)\) 

Mầ \(11m^2≡0(mod11)\)

\(\Rightarrow 11n^2>m^2+1\)

\(\Rightarrow 11n^2 \ge m^2+2\)

\(\Rightarrow 11n^2-m^2 \ge 2\)

\(\Rightarrow \dfrac{11n^2-m^2}{n(\sqrt{11}n+m)} \ge \dfrac{2}{n(\sqrt{11}n+m)}(3)\)

Từ \((1),(3)\Rightarrow \dfrac{3(\sqrt{11}-3)}{mn}>\dfrac{2}{n(\sqrt{11}n+m)}(3)\)

\(\Leftrightarrow 3(\sqrt{11}-3)(\sqrt{11}n+m)>2m\)

\(\Leftrightarrow 3(\sqrt{11}-3)\left(\sqrt{11}\dfrac{n}{m}+1\right)>2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{11}\dfrac{n}{m}+1>\dfrac{2}{3(\sqrt{11}-3)}=\dfrac{2(\sqrt{11}+3)}{3.2}=\dfrac{\sqrt{11}+3}{3}\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{11} \dfrac{n}{m}>\dfrac{\sqrt{11}+3}{3}-1=\dfrac{\sqrt{11}}{3}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{n}{m}>\dfrac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{m}{n}<3\)(Trái với (2))

\(\Rightarrow\) Điều giả sử sai.

\(\Rightarrow \sqrt{11}-\dfrac{m}{n} \ge \dfrac{3(\sqrt{11}-3)}{mn}\)

Hay \(\sqrt{11}-\dfrac{m}{n} \ge \dfrac{3\sqrt{11}-9}{mn}\)