Lời giải:

a) Ta có:

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}=\dfrac12\widehat{BAC}\quad (gt)$

$\Rightarrow \mathop{BD}\limits^{\displaystyle\frown}= \mathop{CD}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\Rightarrow BD = CD$

Ta lại có: $OB = OC = R$

$\Rightarrow OD$ là trung trực của $BC$

$\Rightarrow\widehat{BMD}=\widehat{CMD}= 90^\circ$

Xét tứ giác $NBMD$ có:

$\widehat{N} + \widehat{M}= 180^\circ$

Do đó $NBMD$ là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác $DMPC$ có:

$\widehat{CMD}=\widehat{CPD}= 90^\circ$

Do đó $DMPC$ là tứ giác nội tiếp

b) Ta có:

$NBMD$ là tứ giác nội tiếp (câu a)

$\Rightarrow \widehat{NMD}=\widehat{NBD}$

mà $\widehat{NBD}=\widehat{ACD}$ ($ABDC$ là tứ giác nội tiếp)

nên $\widehat{NMD}=\widehat{ACD}$

hay $\widehat{NMD}=\widehat{PCD}$

Ta lại có:

$DMPC$ là tứ giác nội tiếp (câu a)

$\Rightarrow \widehat{PMC}=\widehat{PDC}$

Do đó:

$\widehat{NMD} +\widehat{CMD} +\widehat{PMC}$

$= \widehat{PCD} + \widehat{CPD} + \widehat{PDC}$

$= 180^\circ$ (tổng $3$ góc của $\triangle PCD$)

Vậy $N, M, P$ thẳng hàng

c) Gọi $I, K$ lần lượt là giao điểm của $EF$ với $AB,AC$

Ta có:

$\begin{cases}\widehat{ABE}=\widehat{CBE}=\dfrac12\widehat{ABC}\\\widehat{ACF}=\widehat{BCF}=\dfrac12\widehat{ACB}\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases}sđ\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}= sđ\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}\\sđ\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown}=sđ\mathop{BF}\limits^{\displaystyle\frown}\end{cases}$

$\Rightarrow sđ\mathop{AE}\limits^{\displaystyle\frown}+ sđ\mathop{BF}\limits^{\displaystyle\frown}= sđ\mathop{CE}\limits^{\displaystyle\frown}+ sđ\mathop{AF}\limits^{\displaystyle\frown}$

$\Rightarrow 2\widehat{AKI}= 2\widehat{AIK}$

$\Rightarrow \widehat{AKI}=\widehat{AIK}$

$\Rightarrow \triangle AIK$ cân tại $A$

Lại có: $AD$ là phân giác của $\widehat{A}$

$\Rightarrow AD\perp IK$

hay $AD\perp EF\qquad (1)$

Mặt khác:

$NBMD$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{BNM}=\widehat{BDM}$

hay $\widehat{ANP}=\widehat{BDM}$

$DMPC$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{APN}=\widehat{CDM}$

Ta lại có: $\widehat{BDM}=\widehat{CDM}$ ($OD$ là trung trực của $BC$)

Do đó: $\widehat{ANP}=\widehat{APN}$

$\Rightarrow \triangle ANP$ cân tại $A$

mà $AD$ là phân giác của $\widehat{A}$

nên $AD\perp NP\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow NP//EF\quad (\perp AD)$