Giả sử $\sqrt 6$ là số hữu tỉ ta được. Khi đó tồn tại hai số $m,n\in \mathbb{Z}, m>0,n> 0$ thỏa mãn 

$\begin{array}{l} \dfrac{m}{n} = \sqrt 6 \\  \Rightarrow m = \sqrt 6 n\\  \Rightarrow {m^2} = 6{n^2}\\  \Leftrightarrow {m^2} - 2mn = 6{n^2} - 2mn\\  \Leftrightarrow m\left( {m - 2n} \right) = n\left( {6n - 2m} \right)\\  \Leftrightarrow \dfrac{m}{n} = \dfrac{{6n - 2m}}{{m - 2n}}\\ \end{array}$

Lại có $\sqrt 6>\sqrt 4=2$ nên ta có:

$\begin{array}{l} \sqrt 6  > 2\\  \Leftrightarrow \sqrt 6 n > 2n\\  \Leftrightarrow m > 2n\\  \Leftrightarrow 3m > 6n\\  \Leftrightarrow m > 6n - 2m \end{array}$

Từ đó ta có $\dfrac{6n-2m}{m-2n}$ là phân số rút gọn của $\dfrac{m}n$. Điều này trái với giả thiết đã giả sử. Vậy $\sqrt 6$ là số vô tỉ

Giả sử `\sqrt{6}` là số hữu tỉ 

`-> \sqrt{6}=m/n` (`m,n∈N, n \ne 0, (m;n)=1`)

Do 6 không là số chính phương nên `m/n` không là số tự nhiên

`-> n>1`

Mặt khác `\sqrt{6}=m/n`

`<=> 6=m^2/n^2`

`<=> 6n^2=m^2`

Do `6∈N -> m^2 \vdots n^2`

Giả sử `p` là một ước nguyên tố của `n`

`-> m^2 \vdots p -> m \vdots p`

`-> p` là ước của `m` và `n` (trái với điều kiện `(m;n)=1)`)

Vậy giả sử ban đầu sai hay `\sqrt{6}` là số vô tỉ.