a/ $HI//AD$ mà $AD⊥AB$

$→HI⊥AB$

$EF//AB$ mà $AB⊥AD$

$→EF⊥AD$ mà $AD//BC$ ($ABCD$ là hình chữ nhật

$→EF⊥BC$

Xét tứ giác $AIHE$:

$\begin{cases}\widehat A=90^\circ(gt)\\\widehat{AIH}=90^\circ(HI⊥AB)\\\widehat{AEH}=90^\circ(EF⊥AD)\end{cases}$

$→AIHE$ là hình chữ nhật

Gọi $IE∩AH≡\{G\}$

Xét hình chữ nhật $AIHE$:

$IE∩AH≡\{G\}$

$→GI=GH$

Xét $ΔGIH$:

$GI=GH(cmt)$

$→ΔGIH$ cân tại $G$

$→\widehat{GIH}=\widehat{GHI}$

Xét tứ giác $BIHF$:

$\begin{cases}\widehat B=90^\circ (ABCD\,\,\text{là hình chữ nhật})\\\widehat{BIH}=90^\circ(HI⊥AB)\\\widehat{BFH}=90^\circ(EF⊥BC)\end{cases}$

$→BIHF$ là hình chữ nhật

Gọi $BH∩IF≡\{L\}$

Xét hình chữ nhật $BIHF$:

$BH∩IF≡\{L\}$

$→LI=LH$

Xét $ΔLIH$:

$LI=LH(cmt)$

$→ΔLIH$ cân tại $L$

$→\widehat{LHI}=\widehat{LIH}$

Ta có: $\widehat{LHI}+\widehat{GHI}=\widehat{LHG}$

hay $\widehat{LHI}+\widehat{GHI}=\widehat{BHA}$

$→\widehat{LHI}+\widehat{GHI}=90^\circ$

mà $\widehat{LHI}=\widehat{LIH},\widehat{GHI}=\widehat{GIH}$

$→\widehat{LIH}+\widehat{GIH}=90^\circ$

hay $\widehat{EIF}=90^\circ$

$→ΔEIF$ vuông tại $I$

$BIHF$ là hình chữ nhật

$→\widehat{IHF}=90^\circ$

$→IH$ là đường cao $EF$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔEIF$ vuông tại $I$ có đường cao $IH$

$EF.HE=IE^2$ 

mà $IE=AH$ ($AIHE$ là hình chữ nhật)

$→EF.HE=AH^2$

b/ Xét tứ giác $EHKD$:

$\begin{cases}\widehat D=90^\circ(ABCD\,\,\text{là hình chữ nhật})\\\widehat{EHK}=90^\circ(\text{đối đỉnh}\,\,\widehat{IHF})\\\widehat{DEH}=90^\circ(FE⊥AD)\end{cases}$

$→EHKD$ là hình chữ nhật

Gọi $HD∩EK≡\{M\}$

Xét hình chữ nhật $EHKD$:

$HD∩EK≡\{M\}$

$→ME=MD$

Xét $ΔMED$:

$ME=MD(cmt)$

$→ΔMED$ cân tại $M$

$→\widehat{MED}=\widehat{MDE}$ hay $\widehat{MED}=\widehat{HDA}$

$AIHE$ là hình chữ nhật

mà $AH∩IE≡\{G\}$

$→GA=GE$

Xét $ΔGAE$:

$GA=GE(cmt)$

$→ΔGAE$ cân tại $G$

$→\widehat{GEA}=\widehat{GAE}$ hay $\widehat{GEA}=\widehat{HAD}$

Ta có: $\widehat{HAD}+\widehat{HDA}=90^\circ$ ($ΔHAD$ vuông tại $H$ vì $AH⊥BD$)

mà $\widehat{GEA}=\widehat{HAD},\widehat{MED}=\widehat{HDA}$

$→\widehat{GEA}+\widehat{MED}=90^\circ$

mà $\widehat{GEA}+\widehat{MED}+\widehat{IEH}+\widehat{KEH}=180^\circ$

$→\widehat{IEH}+\widehat{KEH}=90^\circ$

$→\widehat{IEK}=90^\circ$

$→EI⊥EK$ mà $IF⊥IE$ ($\widehat{EIF}=90^\circ$)

$→IF//EK$