Đáp án + Giải thích các bước giải:

 $n^5-61n=(n^5-n)-60n$

$= n(n^4-n^2+n^2-1)-60n = n(n^2-1)(n^2+1)-60n$

$= n(n-1)(n+1)(n^2+1)-60n$

Ta có: $n(n-1)(n+1) \;\vdots\; 3$ (tích $3$ số liên tiếp) $(1)$

Mặc khác: $n^5-n\;\vdots\; 10 \ (2)$

$⇒ n^5-n\;\vdots\; 30$

Khi đó: $\begin{cases}n^5-n\;\vdots\; 30\\60n\;\vdots\;30\end{cases}$

$⇒ n^5-61n\;\vdots\;30$ (đpcm)

`n^5 - 61n`

`= n^5 - n - 60n`

`= n(n^4 - 1) - 60n`

`= n[(n^2)^2 - 1^2] - 60n`

`= n(n^2 - 1)(n^2 - 4 + 5) - 60n`

`= n(n^2 - 1^2)(n^2 - 2^2) + 5n(n^2 - 1^2) - 60n`

`= n(n - 1)(n + 1)(n - 2)(n + 2) + 5n(n - 1)(n + 1) - 60n`

`= (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1) - 60n`

Ta có:

`+)(n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2)` là tích của `5` số liên tiếp nên chia hết cho `10`

`+)n(n + 1)` là tích `2` số liên tiếp nên chia hết cho `2`

`=> 5(n - 1)n(n + 1) vdots 10`

`+) -60n vdots 10`

`<=> (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1) - 60n vdots 10`

`<=> n^5 - 61n vdots 10(**)`
Lại có:

`+)(n - 1)n(n + 1)` là tích `3` số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho `3`

`=> (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) vdots 3; 5(n - 1)n(n + 1) vdots 3`

`+) -60n vdots 3`

`<=> (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2) + 5(n - 1)n(n + 1) - 60n vdots 3`
`<=> n^5 - 61n vdots 3(***)`

Từ `(**)` và `(***) => n^5 - 61n vdots 3; 10` mà `(3; 10) = 1`

`=> n^5 - 61n vdots 3. 10 = 30`

`=> đpcm`