Lời giải:

Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm $CM,BN$

Xét $\triangle BMN$ có:

$\begin{cases}MI = IN = \dfrac12MN\quad (gt)\\BK = KN = \dfrac12BN\quad \text{(cách dựng)}\end{cases}$

$\Rightarrow IK$ là đường trung bình của $\triangle BMN$

$\Rightarrow \begin{cases}IK//BM\\IK = \dfrac12BM\end{cases}\qquad (1)$

Xét $\triangle CMN$ có:

$\begin{cases}MI = IN = \dfrac12MN\quad (gt)\\CH = HM = \dfrac1CM\quad \text{(cách dựng)}\end{cases}$

$\Rightarrow IH$ là đường trung bình của $\triangle CMN$

$\Rightarrow \begin{cases}IH//CN\\IH = \dfrac12CN\end{cases}\qquad (2)$

Ta lại có: $BM = CN\quad (gt)\qquad (3)$

Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow IH = IK = \dfrac12BM = \dfrac12CN$

Hoàn toàn tương tự, ta có:

$JH; JK$ lần lượt là đường trung bình của $\triangle BCM$ và $\triangle BCN$

$\Rightarrow JH = JK = \dfrac12BM = \dfrac12CN$

Do đó: $IH = IK = JH = JK$

$\Rightarrow IHJK$ là hình thoi

$\Rightarrow IJ$ là phân giác của $\widehat{HIK}$

$\Rightarrow \widehat{HIJ} = \widehat{KIJ}\quad (4)$

Mặt khác:

$IH//CN\quad (cmt)$

$\Rightarrow \widehat{HIJ} = \widehat{CFI}$ (đồng vị) $(5)$

$IK//BM\quad (cmt)$

$\Rightarrow IK//BE$

$\Rightarrow \widehat{KIJ} = \widehat{BEI}$ (đồng vị) $(6)$

Từ $(4)(5)(6)\Rightarrow \widehat{BEI} = \widehat{CFI}$