Đáp án:

Giải thích các bước giải:

1/ Ta có: $\widehat{NIB}+\widehat{NHB}=90^0+90^0=180^0$

$⇒ NIBH$ là tứ giác nội tiếp

và $\widehat{NIA}+\widehat{NKA}=90^0+90^0=180^0$

$⇒ NIAK$ là tứ giác nội tiếp

2/ Ta có: $\widehat{NIH}=\widehat{NBH}$ (do $NIBH$ là tứ giác nội tiếp)

$\widehat{NAB}=\widehat{NBH}$ (cùng chắn cung $NB$)

$\widehat{NAB}=\widehat{NKI}$ (do $NIAK$ là tứ giác nội tiếp)

$⇒ \widehat{NIH}=\widehat{NKI}$

Tương tự: $\widehat{NHI}=\widehat{NIK}$

Xét $ΔNHI$ và $ΔNIK$

Có: $\widehat{NIH}=\widehat{NKI}$

$\widehat{NHI}=\widehat{NIK}$

$⇒ ΔNHI \backsim ΔNIK$

$⇒ \dfrac{NH}{NI}=\widehat{NI}{NK}$

$⇒ NH.NK=NI^2$

3/ Ta có: $\widehat{DIC}=\widehat{KIN}+\widehat{HIN}=\widehat{KAN}+\widehat{HBN}$

$=\widehat{ABN}+\widehat{BAN}$

Mà $\widehat{DNC}+\widehat{ABN}+\widehat{BAN}=180^0$

nên $\widehat{DNC}+\widehat{DIC}=180^0$

$⇒ DICN$ là tứ giác nội tiếp

$⇒ \widehat{CDN}=\widehat{NIH}$ (cùng chắn cung $NC$)

Mà $\widehat{NIH}=\widehat{NKI}$ (do $ΔNHI \backsim ΔNIK$)

nên $\widehat{CDN}=\widehat{NKI}=\widehat{NAI}$

Hay $\widehat{CDN}=\widehat{NAI}$

và ở vị trí đồng vị

$⇒ CE // AI$ $(1)$

Mặt khác: $\widehat{IKN}=\widehat{NIH}=\widehat{NBH}$

$⇒ 90^0-\widehat{IKN}=90^0-\widehat{NBH}$

$⇒ \widehat{IKA}=\widehat{BNH}$

Mà $\widehat{BNH}=\widehat{DIC}$ (cùng bù $\widehat{DNC}$)

nên $\widehat{IKA}=\widehat{DIC}$

và ở vị trí so le trong

$⇒ AE // IC$ $(2)$

Từ $(1), (2)$ suy ra: $AECI$ là hình bình hành

$⇒ CI=AE$ $(đpcm)$

 ....