a/ Xét $ΔABD$ và $ΔACD$:

$AD:chung$

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$ ($AD$ là đường phân giác $\widehat A$)

$AB=AC$ ($ΔABC$ cân tại $A$)

$→ΔABD=ΔACD(c-g-c)$

b/ Xét $ΔABC$ cân tại $A$:

$AD$ là đường phân giác $\widehat A$

$→AD$ là đường trung trực ứng $BC$

$→BD=CD=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{10}{2}=5cm$

$AD$ là đường trung trực ứng $BC$

$→AD⊥BC$ hay $AD⊥BD$

Xét $ΔABD$:

$AD⊥BD$

$→ΔABD$ vuông tại $D$

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABD$ vuông tại $D$:

$→AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12cm$

c/ Xét $ΔBDA$ và $ΔCDE$:

$DB=DC(cmt)$

$\widehat{BDA}=\widehat{CDE}$ (đối đỉnh)

$DA=DE(gt)$

$→ΔBDA=ΔCDE(c-g-c)$

$→BA=CE$ (2 cạnh tương ứng)

mà $BA=CA$ ($ΔABC$ cân tại $A$)

$→CE=CA$

Xét $ΔACE$:

$CE=CA(cmt)$

$→ΔACE$ cân tại $C$

d/ $DA=DE$

$→D$ là trung điểm $AE$

Xét $ΔACE$:

$D,M$ là trung điểm $AE,AC$

$→CD,EM$ là hai đường trung tuyến ứng cạnh $AE,AC$

mà $CD∩EM≡N$

$→N$ là trọng tâm $ΔACE$

$→NC=\dfrac{2}{3}DC$

mà $DC=DB=\dfrac{BC}{2}$

$→NC=\dfrac{2}{3}.\dfrac{BC}{2}$

$↔NC=\dfrac{BC}{3}$

$↔BC=3NC$

Vậy ta có điều phải chứng minh