CHÚC BẠN HỌC TỐT!!!

Giải thích các bước giải:

a) Xét $ΔABC$ và $ΔHBA$ có:

$\widehat{BAC}=\widehat{AHB}\,(=90^o)$

$\widehat{B}$ chung

$⇒ΔABC\sim ΔHBA\,(g.g)$

$⇒\dfrac{AB}{HB}=\dfrac{BC}{BA}$

$⇒AB^2=BH.BC$  (Đpcm)

$ΔABC$ vuông tại $A$

$⇒BC^2=AB^2+AC^2=15^2+20^2=625$

$⇒BC=25\,(cm)$

Áp dụng đẳng thức vừa chứng minh:

$AB^2=BH.BC$

$⇒BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{15^2}{25}=9\,(cm)$

$⇒CH=BC-BH=25-9=16\,(cm)$

b) Xét $ΔHBA$ và $ΔMHA$ có:

$\widehat{BHA}=\widehat{HMA}\,(=90^o)$

$\widehat{A}$ chung

$⇒ΔHBA\simΔMHA\,(g.g)$

$⇒\dfrac{HA}{BA}=\dfrac{MA}{HA}$

$⇒AH^2=AM.AB\,\,(1)$

Xét $ΔHCA$ và $ΔNHA$ có:

$\widehat{CHA}=\widehat{HNA}\,(=90^o)$

$\widehat{A}$ chung

$⇒ΔHCA\simΔNHA\,(g.g)$

$⇒\dfrac{HA}{CA}=\dfrac{NA}{HA}$

$⇒AH^2=AN.AC\,\,(2)$

Từ $(1)$ và $(2)⇒AM.AB=AN.AC$  (Đpcm)

c) Từ đẳng thức đã cứng minh ở câu b

$⇒\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$

Xét $ΔAMN$ và $ΔACB$ có:

$\widehat{A}$ chung

$\dfrac{AM}{AC}=\dfrac{AN}{AB}$

$⇒ΔAMN\simΔACB\,(c.g.c)$

Ta có:

$S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC$

Mặt khác:

$S_{ΔABC}=\dfrac{1}{2}.AH.BC$

$⇒AB.AC=AH.BC$

$⇒AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{15.20}{25}=12\,(cm)$

Xét tứ giác $AMHN$ có: $\widehat{A}=\widehat{M}=\widehat{N}=90^o$

$⇒AMHN$ là hình chữ nhật

$⇒MN=AH=12\,(cm)$

$ΔAMN\simΔACB$

$⇒\dfrac{S_{ΔAMN}}{S_{ΔACB}}=\left(\dfrac{MN}{BC}\right)^2=\left(\dfrac{12}{25}\right)^2=\dfrac{144}{625}$

$⇒S_{ΔAMN}=\dfrac{144}{625}.S_{ΔABC}=\dfrac{144}{625}.\dfrac{1}{2}.15.20=\dfrac{864}{25}=34,56\,(cm^2)$.