Áp dụng định lý Pytago ta được:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow BD = AC =\sqrt{AB^2 + BC^2}=\sqrt{9a^2 +16a^2}= 5a$

a) Ta có:

$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$

$\Rightarrow AC$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))}=\widehat{SCA}$

Xét $\triangle SAC$ vuông tại $A$ có:

$\tan\widehat{SCA}=\dfrac{SA}{AC}=\dfrac{2a}{5a}=\dfrac25$

$\Rightarrow \widehat{SCA}=\arctan\dfrac25$

Vậy $\widehat{(SC;(ABCD))}=\arctan\dfrac25$

b) Từ $A$ kẻ $AH\perp BD$

Ta có:

$\begin{cases}AH\perp BD\quad \text{(cách dựng)}\\SA\perp BD\quad (SA\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow BD\perp (SAH)$

$\Rightarrow BD\perp SH$

Khi đó:

$\begin{cases}(SBD)\cap (ABCD)=BD\\AH\perp BD\quad \text{(cách dựng)}\\AH\subset (ABCD)\\SH\perp BD\quad (cmt)\\SH\subset (SBD)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SBD);(ABCD))}=\widehat{SHA}$

Ta có:

$AH.BD = AB.AD = 2S_{ABD}$

$\Rightarrow AH =\dfrac{AB.AD}{BD}=\dfrac{3a.4a}{5a}=\dfrac{12a}{5}$

Xét $\triangle SAH$ vuông tại $A$ có:

$\tan\widehat{SHA}=\dfrac{SA}{AH}=\dfrac{2a}{\dfrac{12a}{5}}= \dfrac56$

$\Rightarrow \widehat{SHA}=\arctan\dfrac56$

Vậy $ \widehat{((SBD);(ABCD))}= \arctan\dfrac56$

c) Ta có:

$\begin{cases}BC\perp AB\quad (gt)\\SA\perp BC\quad (SA\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

Trong $mp(SAB)$ kẻ $AK\perp SB$

$\Rightarrow BC\perp AK$

$\Rightarrow AK\perp (SBC)$

$\Rightarrow AK = d(A;(SBC))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAB$ vuông tại $A$ đường cao $AK$ ta được:

$\dfrac{1}{AK^2}=\dfrac{1}{SA^2} +\dfrac{1}{AB^2}$

$\Rightarrow AK =\dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}}=\dfrac{2a.3a}{\sqrt{4a^2 + 9a^2}}$

$\Rightarrow AK = \dfrac{6a\sqrt{13}}{13}$

Vậy $d(A;(SBC))=\dfrac{6a\sqrt{13}}{13}$

d) Ta có: $BD\perp (SAH)$ (câu b)

Trong $mp(SAH)$ kẻ $AI\perp SH$

$\Rightarrow BD\perp AI$

$\Rightarrow AI\perp (SBD)$

$\Rightarrow AI = d(A;(SBD))$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SAH$ vuông tại $A$ đường cao $AI$ ta được:

$\dfrac{1}{AI^2}=\dfrac{1}{SA^2} +\dfrac{1}{AH^2}$

$\Rightarrow AI =\dfrac{SA.AH}{\sqrt{SA^2 + AH^2}}=\dfrac{2a\cdot \dfrac{12a}{5}}{\sqrt{4a^2 + \dfrac{144a^2}{25}}}$

$\Rightarrow AI = \dfrac{12a\sqrt{61}}{61}$

Vậy $d(A;(SBD))= \dfrac{12a\sqrt{61}}{61}$

e) Ta có:

$\quad V_{S.ABD}= V_{S.BCD}=\dfrac12V_{S.ABCD}$

$\Leftrightarrow V_{A.SBD} = V_{C.SBD}$

$\Leftrightarrow \dfrac13S_{SBD}.d(A;(SBD))= \dfrac13S_{SBD}.d(C;(SBD))$

$\Leftrightarrow d(C;(SBD))=d(A;(SBD))=\dfrac{12a\sqrt{61}}{61}$

Vậy $d(C;(SBD))= \dfrac{12a\sqrt{61}}{61}$

f) Ta có: $G\in BD$

$\Rightarrow G\in (SBD)$

$\Rightarrow d(G;(SBD))= 0$

Vậy $d(G;(SBD))= 0$

g) Ta có:

$\begin{cases}CD\perp AD\quad (gt)\\SA\perp CD\quad (SA\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow CD\perp (SAD)$

$\Rightarrow CD = d(C;(SAD))= AB$

Từ $G$ kẻ $GM\perp AD$

$\Rightarrow GM//CD$

$\Rightarrow GM\perp (SAD)$

$\Rightarrow GM = d(G;(SAD))$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{GM}{AB}=\dfrac{GD}{BD}=\dfrac23$

$\Rightarrow GM = \dfrac23AB = \dfrac{4a}{3}$

Vậy $d(G;(SAD))= \dfrac{4a}{3}$