a)

+) Có ΔABC vuông tại A ( gt )

⇒ $AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $BC^{2}$ 

 thay số : $15^{2}$ + $20^{2}$ = $BC^{2}$ 

⇒ $BC^{2}$ = 225 + 400 = 626

⇒ BC = √625 = 25 ( cm )

+) Có BD là phân giác ΔABC ( gt )

⇒ $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{AD}{DC}$ ( t/c )

⇒ $\frac{AB}{AD}$ = $\frac{BC}{DC}$ ( t/c tỉ lệ thức )

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

$\frac{AB}{AD}$ = $\frac{BC}{DC}$ = $\frac{AB+BC}{AD+DC}$ = $\frac{15+25}{AC}$ = $\frac{40}{20}$ = 2

Có $\frac{AB}{AD}$ = 2 ( cmt )

⇒ AD = $\frac{AB}{2}$ = $\frac{15}{2}$ = 7,5 ( cm )

b) Xét ΔAHB và ΔCAB

Có góc ABC chung

và góc AHB = góc CAB = 90 độ ( AH ⊥ BC và gt )

⇒ ΔAHB ~ ΔCAB ( gg )

c) Xét ΔBAD và ΔBHK

Có góc ABD = góc HBK ( BD là phân giác góc ABH )

và góc BAD = góc BHK = 90 độ ( gt và AH ⊥ BC )

⇒ ΔBAD ~ ΔBHK ( gg )

⇒ $\frac{BA}{BH}$ = $\frac{BD}{BK}$ ( cạnh tương ứng )

⇒ BA.BK = BH.BD ( t/c tỉ lệ thức )

⇒ đpcm

a) Xét `ΔABC` có:

  $AB^{2}$ + $AC^{2}$ = $BC^{2}$ (đlý Ptg)

⇒ $15^{2}$ + $20^{2}$ = $BC^{2}$

⇒ $BC^{2}$ `= 625 =`$25^{2}$

`⇒ BC =25` (cm)

Xét `ΔABC` có: BD là tia pg của $\widehat{ABC}$ 

⇒ `(AB)/(AD)` = `(BC)/(DC)` (tc tia pg trong Δ)

⇒ `(AB)/(AD)` = `(BC)/(DC)` = `(AB+BC)/(AD+DC)` = `(15+25)/(AC)` = `40/20` = `2`

⇒ `(AB)/(AD)` = `2`

⇒`2AD = AB = 15`

⇒`AD = 7,5` (cm)

b)Xét `ΔAHB` và `ΔCAB` có: 

  $\widehat{AHB}$ = $\widehat{CAB}$ =$90^{o}$ 

  $\widehat{ABC}$ chung

⇒ `ΔAHB` ~ `ΔCAB` (g.g)

c) Xét `ΔBHK` và `ΔBAD` có:

  $\widehat{BHK}$ = $\widehat{BAD}$ =$90^{o}$ 

  $\widehat{ABD}$ = $\widehat{HBK}$ (BD là tia pg của $\widehat{ABC}$ )

⇒ `ΔBHK` ~ `ΔBAD` (g.g)

⇒`(BH)/(BK)` = `(BA)/(BD)`

`⇒` `BH` `·` `BD`  `=` `BK` `·` `BA`