a/ Xét $ΔAMB$ và $ΔANC$:

$\widehat A:chung$

$\widehat{AMB}=\widehat{ANC}(=90^\circ)$

$→ΔAMB\backsim ΔANC(g-g)$

b/ Xét $ΔBNH$ và $ΔBMA$:

$\widehat B:chung$

$\widehat{BNH}=\widehat{BMA}(=90^\circ)$

$→ΔBNH\backsim ΔBMA(g-g)$

$→\dfrac{BN}{NH}=\dfrac{BM}{MA}$

$↔BN.MA=BM.NH$

c/ $ΔBNH\backsim ΔBMA$

$→\dfrac{BN}{BH}=\dfrac{BM}{BA}$

$↔\dfrac{BN}{BM}=\dfrac{BH}{BA}$

Xét $ΔBMN$ và $ΔBAH$:

$\widehat B:chung$

$\dfrac{BN}{BM}=\dfrac{BH}{BA}(cmt)$

$→ΔBMN\backsim ΔBAH(c-g-c)$

$→\widehat{BNM}=\widehat{AHB}$

d/ $\widehat{ACH}=30^\circ$ hay $\widehat{ACN}=30^\circ$

Ta sẽ áp dụng định lý: Trong một tam giác vuông cạnh đối diện với góc $30^\circ$ bằng nửa cạnh huyền.

Xét $ΔACN$:

$\widehat{ACN}=30^\circ$

$→AN=\dfrac{1}{2}AC$

$↔\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}$

$ΔAMB\backsim ΔANC$

$→\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$

$↔\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}$

Xét $ΔAMN$ và $ΔABC$:

$\widehat A:chung$

$\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{AB}{AC}(cmt)$

$→ΔAMN\backsim ΔABC(c-g-c)$

$→\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{1}{2}$

$→\dfrac{S_{ΔAMN}}{S_{ΔABC}}=\bigg(\dfrac{AN}{AC}\bigg)^2=\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^2=\dfrac{1}{4}$

$↔\dfrac{S_{ΔAMN}}{40}=\dfrac{1}{4}\\↔S_{ΔAMN}=10cm^2$

Vậy $S_{ΔAMN}=10cm^2$