Đáp án + Giải thích các bước giải :

a)

         Xét ΔAHB và ΔAHC có :

        ∠AHB = ∠AHC = 90độ 

                   AH  chung

                  AB = AC ( Do ΔABC cân tại A )

⇒ ΔAHB = ΔAHC ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

⇒ BH = CH ( 2 cạnh tương ứng )

Hay H là trung điểm của BC

b)

  Do AB//CE

⇒ ∠BAM = ∠ECM ( 2 góc so le trong )

Xét ΔBAM và ΔECM có :

         ∠BAM = ∠ECM ( chứng minh trên )

         ∠AMB = ∠CME ( 2 góc đối đỉnh )

              AM = CM ( Do M là trung điểm của AC )

⇒ ΔBAM=ΔECN ( g . c . g )

⇒ AB = CE ( 2 cạnh tương ứng )

mà AB=AC ( Do ΔABC cân tại A )

⇒ CE = AC ( = cạnh AB )

⇒ ΔACE cân tại C

c)

Có : M là trung điểm của AC

⇒ BM là đường trung tuyến của ΔABC

Có : H là trung điểm của BC

⇒ AH là đường trung tuyến của ΔABC

Xét ΔABC có :

BM là đường trung tuyến

AH là đường trung tuyến

BM cắt AH tại I

⇒ I là trọng tâm của ΔABC

d)

Do ΔBAM = ΔECM ( chứng minh trên )

⇒ BM = EM ( 2 cạnh tương ứng )

Hay M là trung điểm của BE

Do I là trọng tâm của ΔABC

⇒ BI = 2/3BM

Mà BM = 1/2BE ( Do M là trung điểm của  BE )

⇒ BI =2/3 × 1/2BE

⇒ BI = 1/3BE

⇒ BE = 3BI

Áp dụng BĐT Δ cho ΔABE có :

        AB + AE > BE 

Mà BE = 3BI  

⇒ AB + AE > 3BI

Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔAHB` và `ΔAHC` có :

`hat{AHB} = hat{AHC}=90^o` (Do `AH⊥BC`)

`AH` chung

`AB=AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> ΔAHB = ΔAHC` (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\\$

Do `ΔAHB = ΔAHC` (chứng minh trên)

`-> HB=HC` (2 cạnh tương ứng)

`-> H` là trung điểm của `BC`

$\\$

$\\$

`b,`

Do $AB//CE$

`-> hat{ABM} = hat{CEM}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔAMB` và `ΔCME` có :

`AM=CM` (Do `M` là trung điểm của `AC`)

`hat{AMB} = hat{CME}` (2 góc đối đỉnh)

`hat{ABM} = hat{CEM}` (chứng minh trên)

`-> ΔAMB = ΔCME` (góc - cạnh - góc)

`-> AB=CE` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB=CE \text{(chứng minh trên)}\\AB=AC \text{(Do ΔABC cân tại A)}\end{array} \right.\)

`-> AC=CE (=AB)`

`-> ΔACE` cân tại `C`

$\\$

$\\$

`c,`

Có : `M` là trung điểm của `AC` (giả thiết)

`-> BM` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Có : `H` là trung điểm của `BC` (chứng minh trên)

`-> AH` là đường trung tuyến của `ΔABC`

Xét `ΔABC` có :

`BM` là đường trung tuyến

`AH` là đường trung tuyến

`BM` cắt `AH` tại `I`

`-> I` là trọng tâm của `ΔABC`

$\\$

$\\$

`d,`

Do `ΔAMB = ΔCME` (chứng minh trên)

`-> BM =EM` (2 cạnh tương ứng)

`-> M` là trung điểm của `BE`

`-> BM = 1/2 BE`

Do `I` là trọng tâm của `ΔABC`

`BM` là đường trung tuyến

`-> BI = 2/3 BM` 

mà `BM=1/2BE` (chứng minh trên)

`-> BI = 2/3 . 1/2 BE`

`-> BI = 1/3 BE`

`-> BE = 3BI`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔABE` có :

`AB + AE > BE`

mà `BE = 3BI` (chứng minh trên)

`-> AB + AE > 3BI`