`a)`

Xét `ΔAEC` và `ΔAFB` có:

         `hat{A}:chung`

      `hat{AEC}=hat{AFB}=90^o`

`⇒ΔAEC`$\sim$`ΔAFB(g.g)(đpcm)`

`b)`

Theo câu `a)ΔAEC`$\sim$`ΔAFB(g.g)`

`⇒(AE)/(AF)=(AC)/(AB)`

`⇒AE.AB=AF.AC(đpcm)`

Vì `(AE)/(AF)=(AC)/(AB)(cmt)`

Hay `(AE)/(AC)=(AF)/(AB)`

Xét `ΔAEF` và `ΔACB` có:

     `(AE)/(AC)=(AF)/(AB)(cmt)`

         `hat{A}:chung`

`⇒ΔAEF`$\sim$`ΔACB(c.g.c)(đpcm)`

`c)`

Xét `ΔABC` có:

`BF⊥AC(g``t)`

`CE⊥AB(g``t)`

`H` là giao điểm của `BF` và `CE`

`⇒H` là trực tâm của `ΔABC`

`⇒AD⊥BC`

Xét `ΔBDH` và `ΔBFC` có:

      `hat{BDH}=hat{BFC}=90^o`

          `hat{B}:chung`

`⇒ΔBDH`$\sim$`ΔBFC(g.g)`

`⇒(BH)/(BC)=(BD)/(BF)`

`⇒BH.BF=BD.BC(1)`

Xét `ΔCDH` và `ΔCEB` có:

   `hat{CDH}=hat{CEB}=90^o`

         `hat{C}:chung`

`⇒ΔCDH`$\sim$`ΔCEB(g.g)`

`⇒(CH)/(CB)=(CD)/(CE)`

`⇒CH.CE=CD.CB(2)`

Cộng vế theo vế vào `(1)` và `(2)` ta đươc:

     `BH.BF+CH.CE=BD.BC+CD.CB`

`→BH.BF+CH.CE=BC.(BD+CD)`

`→BH.BF+CH.CE=BC.BC`

`→BH.BF+CH.CE=BC²(đpcm)`

`d)`

Ta có:`CE⊥AB(g``t)`

          `DM⊥AB(g``t)`

`⇒CE``/``/``DM(` từ `⊥` đến `/``/)`

Hay `HE``/``/``DM`

Vì `HE``/``/``DM(cmt)`, áp dụng định lý Ta-lét ta có:

                   `(AE)/(AM)=(AH)/(AD)(3)`

Ta có:`BF⊥AC(g``t)`

         `DN⊥AC(g``t)`

`⇒BF``/``/``DN(` từ `⊥` đến `/``/)`

Hay `HF``/``/``DN`

Vì `HF``/``/``DN(cmt)`, áp dụng định lý Ta-lét ta có:

                   `(AH)/(AD)=(AF)/(AN)(4)`

Từ `(3)` và `(4)⇒(AE)/(AM)=(AF)/(AN)`

Xét `ΔAMN` có:

`(AE)/(AM)=(AF)/(AN)(cmt)`

`⇒MN``/``/``EF(` áp dụng định lý Ta-lét đảo `)(đpcm)`