Đáp án:

$15)\quad C. \dfrac{a^3\sqrt{5}}{12}$

$16)\quad A. \dfrac{4\sqrt2 a^3}{3}$

$17)\quad D. \dfrac38$

$18)\quad D. \dfrac{a^3\sqrt3}{3}$

$19)\quad A. \dfrac{a^3\sqrt3}{4}$

$20)\quad$ Không có đáp án

$21)\quad C. \dfrac{a^3\sqrt2}{3}$

$22)\quad A. \dfrac{a^3}{4}$

$23)\quad A. \dfrac14$

$24)\quad C.\ 6\sqrt2$

$25)\quad A. \dfrac{\sqrt6a^3}{4}$

Giải thích các bước giải:

Câu 15:

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABC$

$\Rightarrow OA = OB = OC = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Ta có: $SO\perp (ABC)$ hình chóp đều

$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{2a^2  - \dfrac{a^2}{3}}$

$\Rightarrow SO = \dfrac{a\sqrt{15}}{3}$

Ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SO = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{3}$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt5}{12}$

Câu 16:

Gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{AB\sqrt2}{2} = a\sqrt2$

Ta có: $SO\perp (ABCD)$ (hình chóp đều)

$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{4a^2 - 2a^2}$

$\Rightarrow SO = a\sqrt2$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO = \dfrac13\cdot 4a^2\cdot a\sqrt2$

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{4a^3\sqrt2}{3}$

Câu 17:

Sửa đề: Hình chóp $S.ABCD$

Ta có:

$V_{S.AB'C'D} = V_{S.AB'C'} + V_{S.AC'D}$

$\qquad = \dfrac{SB'}{SB}\cdot \dfrac{SC'}{SC}\cdot V_{S.ABC} + \dfrac{SC'}{SC}\cdot V_{S.ACD}$

$\qquad = \dfrac14\cdot \dfrac12V_{S.ABCD} + \dfrac12\cdot \dfrac12V_{S.ABCD}$

$\qquad = \dfrac18V_{S.ABCD} + \dfrac14V_{S.ABCD}$

$\qquad = \dfrac38V_{S.ABCD}$

Do đó:

$\dfrac{V_{S.AB'C'D}}{V_{S.ABCD}} = \dfrac38$

Câu 18:

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\quad AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow BD = AC =\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = a\sqrt5$

$O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow OA = OB = OC = OD = \dfrac{a\sqrt5}{2}$

Ta có: $SO\perp (ABCD)$ (hình chóp đều)

$\Rightarrow SO = \sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{2a^2 - \dfrac{5a^2}{4}}$

$\Rightarrow SO= \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SO = \dfrac13\cdot 2a\cdot a \cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt3}{3}$

Câu 19:

$V = S_{đ}.h = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a = \dfrac{a^3\sqrt3}{4}$

Câu 20:

$V_{A'B'C'.ABC} = S_{ABC}.AA' = \dfrac12AB.BC.AA'$

$\Rightarrow V_{A'B'C'.ABC} = \dfrac12\cdot 2a\cdot a\cdot 2a\sqrt3 = 2a^3\sqrt3$

Câu 21:

Ta có: $SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SA \perp AB$

$\Rightarrow SA =\sqrt{SB^2 - AB^2} = \sqrt{3a^2- a^2}$

$\Rightarrow SA = a\sqrt2$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABC}.SA = \dfrac13\cdot a^2\cdot a\sqrt2$

$\Rightarrow V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3\sqrt2}{3}$

Câu 22:

Ta có: $SA\perp (ABC)$

$\Rightarrow AB$ là hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$

$\Rightarrow \widehat{(SB;(ABC))} = \widehat{SBA} = 60^\circ$

$\Rightarrow SA = AB.\tan60^\circ = a\sqrt3$

Ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac13S_{ABC}.SA = \dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a\sqrt3$

$\Rightarrow V_{S.ABC} = \dfrac{a^3}{4}$

Câu 23:

Ta có:

$\dfrac{V_{S.A'B'C}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SA'}{SA}\cdot \dfrac{SB'}{SB} = \dfrac14$

Câu 24:

Gọi $a,\ b,\ c$ lần lượt là độ dài ba cạnh của hình hộp $(a,\ b,\ c >0)$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$\begin{cases}a^2 + b^2 = 6\\b^2 + c^2 = 11\\c^2 + a^2 = 13\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a = 2\\b = \sqrt2\\c = 3\end{cases}$

Khi đó:

$V = abc = 6\sqrt2$

Câu 25:

Ta có: $V_{A'B'C'.ABC} = S_{ABC}.AA' = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot a\sqrt2$

$\Rightarrow V_{A'B'C'.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt6}{4}$

$15. C$

$16. A$

$17. D$ (chia cắt toàn bộ hình bằng $(SAC)$ rồi tính tỉ số V từng phần)

$18. D$

$19. A$

$20. E$

$21. C$

$22. A$

$23. A$ (so sánh $S_{SA'B'}$ và $S_{SAB}$)

$24. C$ (lập HPT 3 ẩn)

$25. A$