$\begin{array}{l} \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 5 = 0\\  \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 10 \end{array}$  

Phương trình có tâm $I(2;-1)$ và có bán kính $R=\sqrt {10}$

Vì tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M(3;2)$ nên ta có phương trình tiếp tuyến (C) tại M có dạng: $a(x-3)+b(y-2)=0\Rightarrow ax+by-3a-2b=0$

$\begin{array}{l} d\left( {I,d} \right) = R\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {a.\left( 2 \right) + b\left( { - 1} \right) - 3a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \sqrt {10} \\ \Leftrightarrow \left| { - a - 3b} \right| = \sqrt {10{a^2} + 10{b^2}} \\ \Leftrightarrow {\left( {a + 3b} \right)^2} = 10{a^2} + 10{b^2}\\ \Leftrightarrow 9{a^2} - 6ab + {b^2} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {3a - b} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 3a = b \end{array}$

Chọn $a=1\Rightarrow b=3$ ta được phương trình tiếp tuyến $(C)$ tại $x+3y-9=0$

Đáp án:

$Δ:\,x+3y-9=0$ 

Giải thích các bước giải:

$(C):\,x^2+y^2-4x+2y-5=0$

$(C)$ có tâm $I(2;-1)$ và bán kính $R=\sqrt{10}$

Gọi $Δ$ là tiếp tuyến cần tìm

$Δ$ đi qua $M(3;2)$

$⇒Δ:\,(3-2)(x-3)+(2+1)(y-2)=0$

$⇒Δ:\,x+3y-9=0$.