Đáp án:

$\\$

`a,`

Có : `BM` là đường trung tuyến

`-> M` là trung điểm của `AC`

Xét `ΔMBA` và `ΔMNC` có :

`hat{BMA} = hat{NMC}` (2 góc đối đỉnh)

`AM = CM` (Do `M` là trung điểm của `AC`)

`MB = MN` (giả thiết)

`-> ΔMBA = ΔMNC` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

$\\$

`b,`

Do `ΔMBA = ΔMNC` (chứng minh trên)

`-> AB =CN` (2 cạnh tương ứng)

Có : `MB = MN` (giả thiết)

`-> M` là trung điểm của `BN`

`-> BM = 1/2 BN`

`-> BN = 2BM`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔBCN` có :

`BC + CN > BN`

mà `AB = CN` (chứng minh trên), `BN = 2BM` (chứng minh trên)

`-> AB + BC > 2BM`

$\\$

$\\$

`c,`

Có : `M` là trung điểm của `BN`

`-> AM` là đường trung tuyến của `ΔABN`

Có : `KM = 1/3 AM`

`-> (KM)/(AM) = 1/3`

Xét `ΔABN` có :

`AM` là đường trung tuyến

`(KM)/(AM) = 1/3`

`-> K` là trọng tâm của `ΔABN`

mà `BK` cắt `AN` tại `H`

`-> BH` là đường trung tuyến của `ΔABN`

`-> H` là trung điểm của `AN`

`-> CH` là đường trung tuyến của `ΔACN`

Có : `M` là trung điểm của `AC`

`-> NM` là đường trung tuyến của `ΔACN`

Xét `ΔACN` có :

`CH` là đường trung tuyến

`NM` là đường trung tuyến

`CH` cắt `NM` tại `I`

`-> I` là trọng tâm của `ΔACN`

mà `CH` là đường trung tuyến

`-> CI = 2/3 AH`

Do `I` là trọng tâm của `ΔACN`

mà `MN` là đường trung tuyến

`-> NI = 2/3 MN`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔCIN` có :

`CI + NI > CN`

mà `CI = 2/3 CH` (chứng minh trên), `NI = 2/3 MN` (chứng minh trên)

`-> 2/3CH + 2/3 MN > CN`

`-> 2/3 (CH + MN) > CN`

`-> CH + MN > 3/2 CN`

a)

Xét tam giác ABM và CNM ta có:
BM=NM(gt)

góc BMA=NKC(đối đỉnh)

AM=MC(do BM là đg trung tuyến của AC)

=>tam giác ABM= CNM(c-g-c)

b)

Ta có BC+CN>BN(t/c bất đẳng thức tam giác)

mà AB=CN(do tam giác ABM=CNM)

và BN=BM+MN hay 2BM

=>BC+AB>BN