Đáp án:

$A.\ a^3\sqrt3$

Giải thích các bước giải:

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

Xét $\triangle SAB$ cân tại $S$ có $H$ là trung điểm cạnh đáy $AB$

$\Rightarrow SH\perp AB$

Khi đó:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (ABCD)= AB\\SH\perp AB\\SH\subset (SAB)\end{cases}$

$\Rightarrow SH\perp (ABCD)$

Gọi $M$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow HM//AD//BC;\ HM = AD = BC = a\sqrt3$

Ta được:

$\begin{cases}HM\perp CD\quad (HM//AD//BC)\\SH\perp CD\quad (SH\perp (ABCD))\end{cases}$

$\Rightarrow CD\perp (SHM)$

Trong $mp(SHM)$ kẻ $HK\perp SM$

$\Rightarrow CD\perp HK$

$\Rightarrow HK\perp (SCD)$

$\Rightarrow HK = d(H;(SCD))$

Mặt khác: $AB//CD$

$\Rightarrow AB//(SCD)$

$\Rightarrow d(AB;SC)= d(AB;(SCD))= d(H;(SCD))= \dfrac{3a}{2}$

$\Rightarrow HK =\dfrac{3a}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle SHM$ vuông tại $H$ đường cao $HK$ ta được:

$\quad \dfrac{1}{HK^2}=\dfrac{1}{SH^2} +\dfrac{1}{HM^2}$

$\Rightarrow SH =\dfrac{HK.HM}{\sqrt{HM^2 - HK^2}}=\dfrac{\dfrac{3a}{2}\cdot a\sqrt3}{\sqrt{3a^2 - \dfrac{9a^2}{4}}}$

$\Rightarrow SH = 3a$

Khi đó:

$V_{S.ABCD}=\dfrac13S_{ABCD}.SH =\dfrac13AB.AD.SH$

$\Leftrightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac13\cdot a\cdot a\sqrt3\cdot 3a = a^3\sqrt3$