1. Ta có: $\widehat{BMC}=\widehat{AMB}+\widehat{AMC}$

mà $\widehat{AMB}=\widehat{ACB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

$\widehat{AMC}=\widehat{ABC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

$\Rightarrow\widehat{BMC}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}$ (đpcm)

2. Do $AM$ là tia phân giác $\widehat A$ nên cung MB bằng cung MC

$\Rightarrow MB=MC\Rightarrow M$ thuộc đường trung trực của BC

mà $OB=OC\Rightarrow O$ thuộc đường trung trực của $BC$

$\Rightarrow OM$ thuộc đường trung trực của $BC\Rightarrow OM\bot BC$ (đpcm)

3. Ta có $AM$ và $AN$ lần lượt là tia phân giác góc trong góc A và góc ngoài góc A nên $AM\bot AN\Rightarrow \Delta AMN\bot A$ mà $\Delta AMN$ nội tiếp đường tròn (O) nên $MN$ là đường kính nên $O, M, N$ thẳng hàng (đpcm)

4. Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ADC$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{ACD}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

$\widehat{BAM}=\widehat{DAC}$ (do AD là phân giác $\widehat A$)

$\Rightarrow\Delta ABM\sim \Delta ADC$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AM}{AC}$

$\Rightarrow AD.AM=AB.AC$ (đpcm)

5. Xét $\Delta ABM$ và $\Delta BDM$ có:

$\widehat{AMB}=\widehat{BMD}$ (cùng là 1 góc)

$\widehat{BAM}=\widehat{DBM}$ $(=\widehat{MAC})$

$\Rightarrow \Delta ABM\sim\Delta BDM$ (g.g)

$\Rightarrow\dfrac{MB}{MD}=\dfrac{MA}{MB}$

$\Rightarrow MB.MB=MD.MA$ mà $MB=MC$

$\Rightarrow MB.MC=MD.MA$ (đpcm)