Giải thích các bước giải:

1.Xét $\Delta DBH,\Delta DAC$ có:

$\widehat{HDB}=\widehat{ADC}(=90^o)$

$\widehat{BHD}=90^o-\widehat{HBD}=90^o-\widehat{EBC}=\widehat{ECB}=\widehat{ACD}$

$\to\Delta DBH\sim\Delta DAC(g.g)$

$\to \dfrac{DB}{DA}=\dfrac{DH}{DC}$

$\to DB.DC=DH.DA$

2.Xét $\Delta ABE,\Delta ACF$ có:

Chung $\hat A$

$\widehat{AEB}=\widehat{AFC}(=90^o)$

$\to \Delta ABE\sim\Delta ACF(g.g)$

$\to\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AE}{AF}$

$\to AB.AF=AC.AE$

$\to đpcm$

3.Ta có:

$\widehat{AHE}=90^o-\widehat{HAE}=90^o-\widehat{DAC}=\widehat{ACD}=\widehat{ACB}=\widehat{ANB}=\widehat{ANE}$

$\to\Delta AHN$ cân tại $A$

Mà $AE\perp HN$

$\to H, N$ đối xứng qua $EA$

$\to H, N$ đối xứng qua $AC$

4.Từ câu 3 $\to E$ là trung điểm $HN$

Tương tự $F$ là trung điểm $HM$

$\to EF$ là đường trung bình $\Delta HMN$

$\to EF//MN$

5.Vì $AK$ là đường kính của $(O)\to AC\perp CK$

$\to \widehat{ADB}=\widehat{ACK}(=90^o)$

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ABC}=\widehat{AKC}$

$\to\Delta ABD\sim\Delta AKC(g.g)$

$\to \dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AC}$

$\to AB.AD=AK.AD=2R.AD$

6.Xét $\Delta AEF, \Delta ABC$ có:

Chung $\hat A$

$\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}$ vì $AE.AC=AF.AB$

$\to \Delta AEF\sim\Delta ABC(c.g.c)$

$\to \dfrac{EF}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\cos\widehat{BAC}$

$\to EF=BC\cos\widehat{BAC}$

7.Xét $\Delta BDH, \Delta BCE$ có:

Chung $\hat B$

$\widehat{BDH}=\widehat{BEC}(=90^o)$

$\to\Delta BHD\sim\Delta BEC(g.g)$

$\to \dfrac{BH}{BE}=\dfrac{BD}{BC}$

$\to BH.BE=BD.BC$

Tương tự $CH.CF=CD.CB$

$\to BH.BE+CH.CF=BD.BC+CD.CB=BC(BD+DC)=BC^2$

8.Tương tự câu 7

$\to CH.CF+AH.AE=AC^2(1), AH.AD+BH.BE=AB^2(2)$

Mà $BH.BE+CH.CF=BC^2(3)$

Cộng vế với vế của $(1), (2), (3)$

$\to 2(BH.BE+CF.CH+AH.AD)=AB^2+AC^2+BC^2$

$\to BH.BE+CF.CH+AH.AD=0.5(AB^2+BC^2+AC^2)$

9.Từ câu 2 $\to \widehat{ACF}=\widehat{ABE}$

$\to\widehat{ACM}=\widehat{ABN}$

$\to AM=NA$

$\to A$ nằm giữa cung $MN$

$\to OA\perp MN$

Mà $EF//OA$

$\to EF\perp OA$