Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Câu 2:

1) Xét hoành độ giao điểm của `(d)` và `(P):`

`x^2=2(m-1)x+5-2m`

`⇔ x^2-2(m-1)x-5+2m=0`

`Δ'=[-(m-1)]^2-1.(-5+2m)`

`Δ'=m^2-2m+1+5-2m`

`Δ'=m^2-4m+6`

`Δ'=m^2-4m+4+2`

`Δ'=(m-2)^2+2 \ge 2`

`⇒` PT luôn có 2 nghiệm phân biệt

`⇒` (d) luôn cắt `(P)` tại 2 điểm phân biệt

Theo hệ thức Vi-et, ta có:

\(\begin{cases} x_1+x_2=2(m-1)\\x_{1}x_{2}=2m-5\end{cases}\)

Theo đề:

`x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6`

`⇔ (x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=6`

`⇔ (2m-2)^2-2(2m-5)=6`

`⇔ 4m^2-8m+4-4m+10-6=0`

`⇔ 4m^2-12m+8=0`

`⇔ m^2-3m+2=0`

`⇔ (m-1)(m-2)=0`

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}m=2\\m=1\end{array} \right.\) 

Vậy `m \in {1;2}` thì `(d)` cắt `(P)` tại 2 điểm phân biệt TM `x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=6`

2) Gọi số công nhân lúc đầu trong tổ là `x\ (x \in \mathbb{N^{**}};` người)

`⇒ x+3` là số công nhân thực tế

Số bộ đồng phục mà mỗi công nhân may theo dự định là: `\frac{420}{x}` (bộ)

Số bộ đồng phục mà mỗi công nhân may thực tế là: `\frac{420}{x+3}` (bộ)

Vì nếu thêm 3 người thì mỗi người may ít hơn 7 bộ nên ta có PT:

`\frac{420}{x}-\frac{420}{x+3}=7`

`⇔ \frac{420x+1260-420x}{x^2+3x}=7`

`⇔ 7(x^2+3x)=1260`

`⇔ x^2+3x-180=0`

`⇔ (x-12)(x+15)=0`

`⇔` \(\left[ \begin{array}{l}x=12\ (TM)\\x=-15\ (L)\end{array} \right.\) 

Vậy số công nhân lúc đầu của tổ là `12` người

Câu 2:

`1)` Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)` ta có:

`x^2=2(m-1)x+5-2m`

`<=>x^2-2(m-1)x-5+2m=0`

`Delta'=[-(m-1)]^2-(2m-5)`

`=m^2-2m+1-2m+5`

`=m^2-4m+6`

`=m^2-4m+4+2`

`=(m^2-4m+4)+2`

`=(m-2)^2+2`

Do `(m-2)^2\geq∀m`

`=>(m-2)^2+2\geq2>0∀m`

`=>(P)` luôn cắt `(d)` tại 2 điểm phân biệt.

Khi đó theo hệ thức Vi - ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2(m-1)\\x_1.x_2=2m-5\end{cases}$

Lại có: `x_1^2+x_2^2=6`

`<=>x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=6`

`<=>(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=6`

`=>[2(m-1)]^2-2(2m-5)=6`

`<=>4(m^2-2m+1)-4m+10=6`

`<=>4m^2-8m+4-4m+10-6=0`

`<=>4m^2-12m+8=0`

`<=>4(m^2-3m+2)=0`

`<=>m^2-3m+2=0`

`<=>m^2-2m-m+2=0`

`<=>m(m-2)-(m-2)=0`

`<=>(m-1)(m-2)=0`

`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m-1=0\\m-2=0\end{array} \right.\) `<=>`\(\left[ \begin{array}{l}m=1\\m=2\end{array} \right.\) 

Vậy `m=1;m=2` là giá trị cần tìm.

`2)`   Gọi số công nhân có lúc đầu trong tổ là: `a`  `(a>0;a∈NN^*)`

Theo kế hoạch, số bộ đồng phục mà mỗi công nhân phải may là: `(420)/(a)`  (bộ đồng phục)

Nếu thêm 3 công nhân thì số công nhân thực tế làm là: `a+3`  

Theo thực tế, số bộ đồng phục mà mỗi công nhân phải may là: `(420)/(a+3)`  (bộ đồng phục)

Vì nếu thêm `3` công nhân vào tổ thì mỗi người sẽ may ít hơn lúc ban đầu `7` bộ đồng phục nên ta có phương trình sau: `(420)/(a)-(420)/(a+3)=7`

`=>420(a+3)-420a=7a(a+3)`

`<=>420a+1260-420a=7a^2+21a`

`<=>7a^2+21a-1260=0`

`<=>a^2+3a-180=0`

`Delta=3^2-4.1.(-180)=729>0`

Do đó phương trình có 2 nghiệm phân biệt

`a_1=frac{-3+\sqrt{729}}{2}=12`   `text{(TMĐK)}`

`a_2=frac{-3-\sqrt{729}}{2}=-15`   `text{(KTMĐK)}`

Vậy số công nhân có lúc ban đầu trong tổ là `12` người.