1)

ΔABH ⊥ tại H=>$BH^{2}$ +$AH^{2}$ =$AB^{2}$ (1)

ΔAHC⊥ tại H=>$CH^{2}$ +$AH^{2}$ =$AC^{2}$ (2)

lấy (1) cộng (2)=>$BH^{2}$+ $CH^{2}$ +2$AH^{2}$ =$AB^{2}$ +$AC^{2}$ 

màΔABC ⊥ tại A=> $AB^{2}$ +$AC^{2}$ = $BC^{2}$ =$(CH+BH)^{2}$= $15^{2}$ 

=>2$AH^{2}$=$15^{2}$ -$12^{2}$- $3^{2}$ =72=>AH=6 cm

thay AH =6 vào (1)=>AB=$\sqrt[]{45}$ cm

thay AH =6 vào (2)=>AC=2$\sqrt[]{45}$ cm

2) ko rõ đề

3)Xét ΔABH và ΔIBC,có

 $\widehat B$ chung

$\widehat {ICB}$= $\widehat {AHB}$=90

=>ΔABH∝ ΔIBC(g.g)

=>$\frac{AH}{BH}$ =$\frac{CI}{CB}$ (2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(3)

Xét ΔIAK và ΔIBC,có

 $\widehat I$ chung

$\widehat {ICB}$= $\widehat {IKA}$=90

=>ΔIAK∝ ΔIBC(g.g)

=>$\frac{IK}{AK}$ =$\frac{CI}{CB}$ (2 cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)(4)

Xét tứ giác AKCH có KCH=AKC=AHC=90=>AKCH là hình chữ nhật=>AKCH nội tiếp đường tròn

=>$\widehat {AKH}$=$\widehat {ACH}$ do cùng nhìn cung bị chắn AH

Xét ΔAHB và ΔCAB có góc B chung, H=A=90

=>ΔAHB đd ΔCAB(g.g)=>$\widehat {BAH}$=$\widehat {ACH}$

kết hợp với điều vừa chứng minh $\widehat {AKH}$=$\widehat {ACH}$

=>$\widehat {BAH}$=$\widehat {AKH}$

Xét ΔHAK và ΔBCI,có:

$\widehat {BAH}$=$\widehat {AKH}$

góc C= góc A=90

=> ΔHAK∝ ΔBCI(g.g)=>$\frac{AK}{AH}$= $\frac{CI}{CB}$ (5)

nhân (3),(4) và (5)=>$\frac{AH}{BH}$ $\frac{IK}{AK}$ $\frac{AK}{AH}$= $\frac{CI}{CB}$$\frac{CI}{CB}$$\frac{CI}{CB}$=>$\frac{IK}{BH}$= $\frac{CI^{3} }{CB^{3}}$