a/ Xét $ΔABD$ và $ΔHBD$:

$BD:chung$

$\widehat{ABD}=\widehat{HBD}$ ($BD$ là đường phân giác $\widehat A$)

$\widehat{BAD}=\widehat{BHD}(=90^\circ)$

$→ΔABD=ΔHBD(CH-GN)$

$→DA=DH$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $ΔDHC$ vuông tại $A$:

$DH<DC$ (CGV<CH)

mà $DA=DH$

$→DA<DC$

b/ Xét $ΔDAK$ và $ΔDHC$:

$\widehat{DAK}=\widehat{DHC}(=90^\circ)$

$DA=DH$ (cmt)

$\widehat{ADK}=\widehat{HDC}$ (đối đỉnh)

$→ΔDAK=ΔDHC(g-c-g)$

$→DK=DC$ (2 cạnh tương ứng)

Xét $ΔDKC$:

$DK=DC(cmt)$

$→ΔDKC$ cân tại $D$

$→\widehat{DKC}=\widehat{DCK}$

c/ $ΔABC$ vuông tại $A$

$→CA⊥BA$ hay $CA⊥BK$

$DH⊥BC$ hay $KH⊥BC$

Xét $ΔBKC$:

$CA⊥BK,KH⊥BC$

$→CA,KH$ là đường cao ứng $BK,BC$

mà $CA∩KH≡D$

$→D$ là trực tâm $ΔBKC$

$→BD$ là đường cao ứng $KC$ hay $BD⊥KC$

Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔABD` và `ΔHBD` có :

`hat{BAD} = hat{BHD} = 90^o`

`BD` chung

`hat{ABD} = hat{HBD}` (giả thiết)

`-> ΔABD = ΔHBD` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> AD = HD` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

Xét `ΔDHC` có :

`hat{DHC} = 90^o`

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`DC` là cạnh lớn nhất

`-> DC > DH`

mà `AD = DH` (chứng minh trên)

`-> AD < DC`

$\\$

$\\$

$b,$

Xét `ΔADK` và `ΔHDC` có :

`hat{ADK} = hat{HDC}` (2 góc đối đỉnh)

`AD = DH` (chứng minh trên)

`hat{KAD} = hat{CHD} = 90^o`

`-> ΔADK = ΔHDC` (góc - cạnh - góc)

`-> DK =DK` (2 canh tương ứng)

`-> ΔDKC` cân tại `D`

`-> hat{DKC} = hat{DCK}`

$\\$

$\\$

$c,$

Có : `CA⊥BK`

`-> CA` là đường cao của `ΔBKC`

Có : `KH⊥BC`

`-> KH` là đường cao của `ΔBKC`

Xét `ΔBKC` có :

`CA` là đường cao

`KH` là đường cao

`CA` cắt `KH` tại `D`

`-> D` là trực tâm của `ΔBKC`

`-> BD` là đường cao của `ΔBKC`

`-> BD⊥KC`