`a)` Xét $∆ADC$ và $∆AED$ có:

`\qquad \hat{A}` chung

`\qquad \hat{ADC}=\hat{AED}=90°`

`=>∆ADC∽∆AED` (g-g)

`=>{AD}/{AE}={AC}/{AD}`

`=>AE.AC=AD^2` $(1)$

$\\$

Xét $∆ADC$ và $∆DEC$ có:

`\qquad \hat{C}` chung

`\qquad \hat{ADC}=\hat{DEC}=90°`

`=>∆ADC∽∆DEC` (g-g)

`=>{DC}/{EC}={AC}/{DC}`

`=>EC.AC=DC^2` $(2)$

$\\$

Từ `(1);(2)=>{AE.AC}/{EC.AC}={AD^2}/{DC^2}` $(3)$

Vì `ABCD` là hình chữ nhật 

`=>AD=BC;DC=BA`

`(3)=>{EA}/{EC}=({BC}/{BA})^2`

$\\$

`b)` Gọi $F$ là trung điểm $DE$

Xét $∆ADE$ có $N;F$ lần lượt là trung điểm $AE;DE$

`=>NF` là đường trung bình $∆ADE$

`=>NF`//$AD$; `NF=1/ 2 AD=1/ 2 BC`

Mà $AD\perp DC$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật)

`=>NF`$\perp DC$

$\\$

Xét $∆NDC$ có:

$\quad NF\perp DC$

$\quad DE\perp NC$

$\quad NF$ cắt $DE$ tại $F$

`=>F` là trực tâm $∆NDC$

`=>CF`$\perp ND$ $(4)$

$\\$

Ta có: `NF=1/ 2 AD=1/ 2 BC` (c/m trên)

`\qquad MC=1/ 2 BC` (do $M$ là trung điểm $BC$)

`=>NF=MC`

Mà $NF$//$AD$//$MC$

`=>FNMC` là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

`=>MN`//$CF$ $(5)$

$\\$

Từ `(4);(5)=>MN`$\perp ND$

`=>∆MND` vuông tại $N$

`=>MN^2+ND^2=MD^2` (định lý Pytago)

Ta lại có: $∆MCD$ vuông tại $C$

`=>MC^2+CD^2=MD^2` (định lý Pytago)

`=>MN^2+ND^2=MC^2+CD^2`

______

(Câu a nếu đã được dùng hệ thức lượng thì áp dụng luôn không phải chứng minh đồng dạng)