Gọi N là đường kéo dài BD cắt AM tại N

Ta có :

OM // BN ; O là trung điểm AB 

`->` M là trung điểm AN

Ta lại có :

 DK // AN

`->` $\dfrac{IK}{AM }$ = $\dfrac{RI}{RM}$ 

Mặt khác : 

$\dfrac{BI}{BM}$ = $\dfrac{DI}{MN}$

Mà AM = MN

Vậy I là trung điểm Của DK ( DI = DK )

`a)`

Xét `ΔABC` nội tiếp đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính

`⇒ΔABC` vuông tại `C`

`⇒AC⊥BC`

Mà `M∈BC`

`⇒AC⊥BM(đpcm)`

`b)`

Ta có:`hat{BAM}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒ΔABM` vuông tại `A`

Xét `ΔABM` vuông tại `A` và `AC` là đường cao ta có:

               `AM²=MC.MB`(hệ thức lượng)(đpcm)

`c)`

Ta có:`OA=OD=R`

      `⇒O` nằm trên đường trung trực của `AD(1)`

           `AM=DM`(tính chất `2` tiếp tuyến cắt nhau)

      `⇒M` nằm trên đường trung trực của `AD(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒OM` là đường trung trực của `AD`

                       `⇒OM⊥AD(3)`

Xét `ΔABD` nội tiếp đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính

`⇒ΔABD` vuông tại `D`

`⇒AD⊥BD`

Mà `E∈BD`

`⇒AD⊥BE(4)`

Từ `(3)` và `(4)⇒OM////BE`(từ `⊥` đến `////)`

Xét `ΔABE` có:

`OM////BE(cmt)`

`OA=OB=R`

`⇒AM=EM(5)`

Ta có:`EA⊥AB`(tính chất tiếp tuyến)

          `DK⊥AB(g``t)`

`⇒EA////DK`(từ `⊥` đến `////)`

Xét `ΔABM` có `MA////IK(EA////DK,M∈EA,I∈DK)`, áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:

                                                  `(KI)/(AM)=(BI)/(BM)(6)`

Xét `ΔBEM` có `EM////DI(EA////DK,M∈EA,I∈DK)`, áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có:

                                                  `(DI)/(EM)=(BI)/(BM)(7)`

Từ `(5),(6)` và `(7)⇒KI=DI`

                            `⇒I` là trung điểm của `DK(đpcm)`