a. ΔABC có AI là đường trung trực suy ra AI = BI = CI
Từ đó suy ra ΔAIB và ΔAIC cân

b. Trong ΔMBC có
+ MI vuông góc với BC
+ CA vuông góc với BM
+ MI và CA cắt nhau tại N
→ N là trực tâm của ΔBMC
→ BN vuông góc với MC 
→ BE vuông góc với MC
c. ΔNBC có NI vừa là đường trung trực vừa là đường cao
→ ΔNBC cân tại N
→ NB = NC 
Xét ΔBNA và ΔCNE có
+ góc BNA = góc CNE (đối đỉnh)
+ NB = NC ( cmt )
→ ΔBNA = ΔCNE ( ch - gn )
→ AB = EC ( cặp góc tương ứng ) 
Chứng minh tương tự ta có được ΔMBC cân

→ góc MBC = (180 - góc BMC)/2 (1) và MB = MC

    Ta có MB = MC  (cmt)
→ MB - AB = MC - EC
→ MA = ME
→ ΔMAE cân tại M
→ góc MAE = (180 - góc BMC)/2 (2)
Từ (1) và (2) → góc MBC = góc MAE
mà hai góc ở vị trí đồng vị
→ EA//BC
d. Ta có EA//BC (cmt) → góc NAE = góc ACI → góc NAE = góc NAI ( vì ΔIAC cân tại I)
ΔAIE cân ( một đường nhiều tên )
→ ΔAIE đều → góc ACB = 30 độ
→ ΔABC có một góc 30 độ → N là trọng tâm của ΔAIE