Đáp án:

$\\$

`a,`

Gọi `KI` là đường trung trực của `AB`

`→` \(\left\{ \begin{array}{l}KB = KA\\IK⊥AB\end{array} \right.\)

Do `KI⊥AB`

`-> hat{AKI}=90^o,hat{BKI}=90^o`

Xét `ΔAKI` và `ΔBKI` có :

$\left.\begin{matrix} \text{KB=KA (chứng minh trên)}\\ \text{KI chung}\\ \widehat{BKI}=\widehat{AKI}=90^o\end{matrix}\right\}$ `-> ΔBKI=ΔAKI` (c.g.c)

`-> BI=AI` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔAIB` cân tại `I`

$\\$

Do `ΔABC` vuông tại `A`

`-> AC⊥AB`

Do `ΔAKI=ΔBKI` (chứng minh trên)

`-> hat{KIB} = hat{KIA}` (2 góc tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}KI⊥AB\\AC⊥AB\end{array} \right.\)

$→ KI//AC$

`-> hat{KIA} = hat{IAC}` (2 góc so le trong)

mà `hat{KIB} = hat{KIA}` (chứng minh trên)

`-> hat{IAC} = hat{KIB} (= hat{KIA})`

Do $KI//AC$ (chứng minh trên)

`-> hat{ICA} = hat{KIB}` (2 góc đồng vị)

mà `hat{IAC} = hat{KIB}` (chứng minh trên)

`-> hat{ICA} = hat{IAC} (= hat{KIB})`

`-> ΔAIC` cân tại `I`

$\\$

$\\$

`b,`

Có : `MI⊥BC` (giả thiết)

`-> MI` là đường cao của `ΔBMC`

Có : `CA⊥BM` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)

`-> CA` là đường cao của `ΔBMC`

Xét `ΔBMC` có :

`MI` là đường cao

`CA` là đường cao

`MI` cắt `CA` tại `N`

`-> N` là trực tâm của `ΔBMC`

mà `BN` cắt `MC` tại `E`

`-> BE` là đường cao của `ΔBMC`

`-> BE⊥MC`

$\\$

$\\$

`c,`

Do `ΔAIC` cân tại `I` (chứng minh trên)

`-> IA=IC`

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}IA=IB\\IA=IC\end{array} \right.\) (chứng minh trên)

`-> IB=IC (= IA)`

Do `MI⊥BC` (giả thiết)

`-> hat{BIM}= hat{CIM} = 90^o`

Xét `ΔBIM` và `ΔCIM` có :

$\left.\begin{matrix} \text{IB=IC (chứng minh trên)}\\ \text{MI chung}\\ \widehat{BIM}=\widehat{CIM}=90^o\end{matrix}\right\}$ `-> ΔBIM=ΔCIM` (c.g.c)

`-> BM=CM` (2 cạnh tương ứng)

`-> ΔMBC` cân tại `M`

`-> hat{MBC} = hat{MCB} = (180^o-hat{M})/2` `(1)`

Xét `ΔBIN` và `ΔCIN` có :

$\left.\begin{matrix} \text{IB=IC (chứng minh trên)}\\ \text{NI chung}\\ \widehat{BIN}=\widehat{CIN}=90^o\end{matrix}\right\}$ `->ΔBIN=ΔCIN` (c.g.c)

`-> BN = CN` (2 cạnh tương ứng)

Có : `BE⊥MC` (chứng minh trên)

`-> hat{NEC} = 90^o`

Do `ΔABC` vuông tại `A`

`-> hat{BAN}=90^o`

Xét `ΔBAN` và `ΔCEN` có :

$\left.\begin{matrix} \widehat{BAN}=\widehat{CEN}=90^o\\ \text{BN=CN (chứng minh trên)}\\ \widehat{BNA}=\widehat{CNE} \text{(2 góc đối đỉnh)}\end{matrix}\right\}$ `-> ΔBAN=ΔCEN` (ch - gn)

`-> AB = EC` (2 cạnh tương ứng)

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AB + AM = BM\\CE + EM = CM\end{array} \right.\)

mà `AB=CE` (chứng minh trên), `BM=CM` (chứng minh trên)

`-> AM=EM`

`-> ΔMAE` cân tại `M`

`-> hat{MAE} = hat{MEA} = (180^o - hat{A})/2` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> hat{MBC} = hat{MAE} (= (180^o - hat{A})/2)`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

$→ EA//BC$

$\\$

$\\$

`d,`

Để `N` là trọng tâm của `ΔAIE` ta cần : `BN` là tia phân giác của `hat{ABC}` trong `ΔABC`

Chứng minh :

Gọi `D` là giao của `AI` và `AI` và `BN`

và `Q` là giao của `MI` và `AE`

Do `BN` là tia phân giác của `hat{B}`

`-> hat{ABN} = hat{IBN}`

Xét `ΔABN` và `ΔIBN` có :

$\left.\begin{matrix} \widehat{BAN}=\widehat{BIN}=90^o\\ \text{BN chung}\\ \widehat{ABN}=\widehat{IBN} \text{(chứng minh trên)}\end{matrix}\right\}$ `->ΔABN=ΔIBN` (ch - gn)

`-> AB=IB` (2 cạnh tương ứng), `AN=IN` (2 cạnh tương ứng)

`-> B` nằm trên đường trung trực của `AI, N` nằm trên đường trung trực của `AI`

`-> BN` là đường trung trực của `AI`

`-> BN` đi qua trung điểm của `AI`

mà `BN` cắt `AI` tại `D`

`-> D` là trung điểm của `AI`

`-> ED` là đường trung tuyến của `ΔAIE`

Do `ΔBIM=ΔCIM` (chứng minh trên)

`-> hat{BMI} =hat{CMI}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{AMQ} = hat{EMQ}`

Xét `ΔAMQ` và `ΔEMQ` có :

$\left.\begin{matrix} \text{MQ chung}\\ \text{AM=EM (chứng minh trên)}\\ \widehat{AMQ}=\widehat{EMQ} \text{(chứng minh trên)}\end{matrix}\right\}$ `->ΔAMQ=ΔEMQ` (c.g.c)

`-> AQ=EQ` (2 cạnh tương ứng)

`-> Q` là trung điểm của `AE`

`-> IQ` là đường trung tuyến của `ΔAIE`

Xét `ΔAIE` có :

`ED` là đường trung tuyến

`IQ` là đường trung tuyến

`ED` cắt `IK` tại `N`

`-> N` là trọng tâm của `ΔAIE`

Vậy để `N` là trọng tâm của `ΔAIE` thì `ΔABC` cần `BN` là tia phân giác của `hat{ABC}`

Câu d mik ko biết làm T_T