1) Xét (O): NI=IM (gt)

=> OI vuông góc với MN (q.hệ đg kính và dây)

Xét AIOC: góc OIA = góc OCA =90 (gt ;cmt)

=> góc OIA + góc OCA =180

=> AIOC nội tiếp đg tròn, đ. kính OA (tổng 2 góc đối =180)

2)Xét (O): OB=OC=R

                  AB=AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

                  => OA là đg trung trực của BC

=> OA vuông góc với BC tại H

Xét Δ OBA vuông tại B, đg cao BH

=> AB^2 = AH . AO (hệ thức lượng)  (1)

xét Δ BAM và Δ NAB

góc BAN chung

góc MBA= góc BNM (cùng chắn cung BM)

=>Δ BAM ~ Δ NAB ( g-g )

=> tỉ số => AB^2 = AM. AN          (2)

Từ (1) và (2) => AH.AO = AM.AN (cùng = AB^2)

=> AH/AN = AM/AO

xét Δ HAM và Δ NAO

AH/AN = AM/AO (cmt)

góc NAO chung

=>Δ HAM ~  Δ NAO (c-g-c)

=> góc AHM = góc ANO (2 góc tương ứng)

=> MNOH nội tiếp (góc ngoài = góc đối trong)

=> góc OHN = góc OMN (cùng chắn cung ON)

3) Gọi K là giao điểm của BH và NA

Δ OMN cân tại O (ON=OM=R)

=> góc MNO= góc OMN

Mà góc MNO= góc AHM (cmt) ; góc OMN= góc OHN (cmt)

=> góc OHN= góc AHM

ta có góc OHB = góc BHA =90

<=> góc OHN + góc NHB= góc AHM+ góc MHB

=> góc NHB= góc MHB (góc OHN= góc AHM (cmt) )

=> HK là tia phân giác góc NHM

=> HM/HN = KM/KN (tính chất phân giác trong)

có HA vuông góc với HK => HA là tia phân giác ngoài góc đỉnh H

=> HM/HN= AM/AN (tính chất phân giác ngoài)

=>KM/KN = AM/AN (cùng = HM/HN )

ta có BN // FM (gt)=> KM/KN = FM/BN (Đ/Lí Ta-lét)

ta có BN // ME (gt)=>AM/AN = ME/BN (Đ/Lí Ta-lét)

=>ME/BN=FM/BN 

=> ME=FM 

=> M là trung điểm của EF