Lời giải:

a) Dễ dàng chứng minh được: $BCEF$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{ACB}=\widehat{AFE}$

hay $\widehat{ACI}=\widehat{AFM}$

Xét $\triangle AEF$ và $\triangle ABC$ có:

$\begin{cases}\widehat{A}:\ \text{góc chung}\\\widehat{ACB}=\widehat{AFE}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó $\triangle AEF\backsim \triangle ABC\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AF}{AC}=\dfrac{EF}{BC}=\dfrac{MF}{IC}$

Xét $\triangle AFM$ và $\triangle ACI$ có:

$\begin{cases}\widehat{AFM}=\widehat{ACI}\quad (cmt)\\\dfrac{AF}{AC}=\dfrac{MF}{IC}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó $\triangle AFM\backsim \triangle ACI\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{MAF}=\widehat{IAC}$

$\Rightarrow \widehat{MAF} + \widehat{AFM}=\widehat{IAC} + \widehat{ACI}$

$\Rightarrow \widehat{AMN}=\widehat{AID}$

Từ $A$ kẻ tiếp tuyến $Ax$ với đường tròn $(O)$ ($Ax$ nằm trên nửa mặt phẳng bờ $AC$ chứa điểm $B$)

$\Rightarrow OA\perp Ax$

$\Rightarrow \widehat{BAx}=\widehat{ACB}$ (cùng chắn $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$)

mà $\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$

nên $\widehat{BAx}=\widehat{AFE}$

$\Rightarrow EF//Ax$

$\Rightarrow OA\perp EF$

$\Rightarrow \widehat{ANM}= 90^\circ$

Xét $\triangle ANM$ và $\triangle ADI$ có:

$\begin{cases}\widehat{N}=\widehat{D}= 90^\circ\\\widehat{AMN}=\widehat{AID}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó $\triangle ANM\backsim \triangle ADI$

b) Ta có:

$I,K$ lần lượt là trung điểm $BC, AC$

$\Rightarrow IK$ là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\Rightarrow IK//AB;\ IK=\dfrac12AB$

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{ABD}=\widehat{KIC}\\\widehat{BAE}=\widehat{IKC}\end{cases}$ (đồng vị)

Bên cạnh đó:

$OI\perp BC$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)

$\Rightarrow \widehat{OIK}+\widehat{KIC}= 90^\circ$

mà $\widehat{HAB} + \widehat{ABD}= 90^\circ$

nên $\widehat{OIK}=\widehat{HAB}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{OKI}=\widehat{HBA}$

Xét $\triangle OIK$ và $\triangle HAB$ có:

$\begin{cases}\widehat{OIK}=\widehat{HAB}\quad (cmt)\\\widehat{OKI}=\widehat{HBA}\quad (cmt)\end{cases}$

Do đó $\triangle OIK\backsim \triangle HAB\ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{OI}{HA}=\dfrac{IK}{AB}=\dfrac12$

Gọi $G= AI\cap BK\qquad (1)$

$\Rightarrow G$ là trọng tâm $\triangle ABC$

$\Rightarrow \dfrac{GI}{AG}=\dfrac12$ (tính chất trọng tâm)

$\Rightarrow \dfrac{OI}{HA}=\dfrac{GI}{GA}$

Xét $\triangle GOI$ và $\triangle GAH$ có:

$\begin{cases}\dfrac{OI}{HA}=\dfrac{GI}{GA}\quad (cmt)\\\widehat{OIG}=\widehat{HAG}\quad \text{(so le trong)}\end{cases}$

Do đó $\triangle GOI\backsim \triangle GAH\ (c.g.c)$

$\Rightarrow \widehat{OGI}=\widehat{HGA}$

mà $A,G,I$ thẳng hàng

nên $H,G,O$ thẳng hàng

hay $G\in OH\qquad (2)$

Từ $(1)(2)\Rightarrow AI,OH,BK$ đồng quy tại trọng tâm $G$