Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔABE` và `ΔKBE` có :

`hat{BAE} = hat{BKE} = 90^o`

`BE` chung

`hat{ABE} = hat{KBE}` (giả thiết)

`-> ΔABE = ΔKBE` (cạnh huyền - góc nhọn)

`-> EA = EK` (2 cạnh tương ứng)

$\\$

$\\$

`b,`

Xét `ΔEHC` và `ΔDHC` có :

`hat{EHC} = hat{DHC} = 90^o`

`HE = HD` (Do `H` là trung điểm của `ED`)

`HC` chung

`-> ΔEHC = ΔDHC` (cạnh - góc - cạnh)

`-> hat{CEH} = hat{CHD}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{CDE} = hat{CED}`

$\\$

Có : `hat{AEB}=  hat{CED}` (2 góc đối đỉnh)

mà `hat{CED} = hat{CDE}` (chứng minh trên)

`-> hat{AEB} = hat{CDB} (= hat{CED})`

$\\$

$\\$

$c,$

Do `ΔEHC = ΔDHC` (chứng minh trên)

`-> CD = CE` (2 cạnh tương ứng)

Có : `hat{CEH} + hat{HCE} = 90^o` (Do `CH⊥BD`)

`-> hat{CEH} < 90^o`

Có : `hat{CEH} + hat{CEB} =180^o` (2 góc kề bù)

mà `hat{CEH} < 90^o`

`-> hat{CEB} > 90^o`

`-> hat{CEB}` là góc tù

Xét `ΔCEB` có :

`hat{CEB}` là góc tù

Áp dụng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện có :

`CB` là cạnh lớn nhất

`-> CB > CE`

mà `CD = CE` (chứng minh trên)

`-> CD < CB`

$\\$

$\\$

$d,$

Gọi `O` là giao của `AB` và `CH` `(1)`

Có : `OK⊥BC`

`-> OK` là đường cao của `ΔBOC`

Có : `CA⊥BO`

`-> CA` là đường cao của `ΔBOC`

Có : `BH⊥OC`

`-> BH` là đường cao của `ΔBOC`

Xét `ΔBOC` có :

`CA` là đường cao

`BH` là đường cao

`CA` cắt `BH` tại `E`

`-> E` là trực tâm của `ΔBOC`

mà `OK` là đường cao của `ΔBOC`

`-> OK` đi qua `E`

hay `EK` đi qua `O` `(2)`

Từ `(1), (2)`

`-> CH,EK,AB` đồng quy tại `O`

$\\$

$\\$

$e,$

giả sử : `hat{B}` của `ΔABC = 60^o`

Có : `hat{B} + hat{ACB} = 90^o` (Do `ΔABC` vuông tại `A`)

`-> hat{ACB} = 90^o - hat{B}`

`-> hat{ACB} = 90^o -60^o`

`-> hat{ACB} = 30^o`

Có `BH` là tia phân giác của `hat{B}`

`-> hat{HBC} =1/2 hat{B} = 1/2 . 60^o`

`-> hat{HBC} = 30^o`

Có : `hat{HBC} + hat{BCH} = 90^o` (Do `CH⊥BD`)

`-> hat{BCH} = 90^o - hat{HBC}`

`-> hat{BCH} = 90^o - 30^o`

`-> hat{BCH} = 30^o`

Do `CE` nằm giữa `BC` và `CH`

`-> hat{ACB} + hat{ECH} = hat{BCH}`

`-> hat{ECH} = hat{BCH} - hat{ACB}`

`-> hat{ECH} = 60^o - 30^o = 30^o`

Do `ΔEHC  = ΔDHC` (chứng minh trên)

`-> hat{ECH}=hat{DCH}` (2 góc tương ứng)

`-> hat{DCH} = 30^o` (Do `hat{ECH} = 30^o`)

Do `CH` nằm giữa `CA` và `CD`

`-> hat{DCA} = hat{ECH} + hat{DCH}`

`-> hat{DCA} = 30^o + 30^o = 60^o`

Có : `hat{DCA} = 2 hat{ACB}`

thay `hat{DCA} = 60^o, hat{ACB} = 30^o` vào ta được :

`-> 60^o = 2 . 30^o`

`-> 60^o = 60^o` (Luôn đúng)

Vậy `ΔABC` cần `hat{B} =60^o` để `hat{DCA} = 2 hat{ACB}`