Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a/ $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$

b/ $ΔABC$ có: $AB<AC<BC$

$⇒ \widehat{C} < \widehat{B} < \widehat{A}$

Vì $AB < AC$ nên $HB < HC$

c/ $ΔBCD$ có $CA$ vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến

$⇒ ΔBCD$ cân tại $C$

d/ $ΔBCD$ có $CA, BK$ là các đường cao cắt nhau tại $F$

$⇒ F$ là trực tâm $ΔBCD$

$⇒ DF ⊥ BC$

Mà $AH ⊥ BC$ nên $DF // AH$

Vì $AC$ là đường trung trực đoạn $BD$

và $F ∈ AC$

nên $FB=FD$

$⇒ ΔFBD$ cân tại $F$

e/ Ta có: $DF // AH$ (câu $d$)

$⇒ \dfrac{BE}{BF}=\dfrac{BA}{BD}=\dfrac{1}{2}$

$⇒ BF=2.BF$

$⇒ E$ là trung điểm $BF$

Trình bày lời giải:

`a)`
Áp dụng định lý Pi-ta-go vào `ΔABC(hat{A}=90^o)` ta có:
`BC^2=AB^2+AC^2` mà `AB=3cm;AC=4cm`
`=>BC^2=3^2+4^2`
`=>BC^2=9+16`
`=>BC^2=25`
`=>BC=sqrt{25}=sqrt{5^2}=5(cm)`
Vậy `BC=5cm`
`b)`
Ta có:
`AB<AC<BC`
`=>hat{BCA}<hat{ABC}<hat{BAC}`
Lại có:
`AB<AC`
`=>HB<HC(text{tính chất đường xiên và hình chiếu})`
`c)`
Ta có:
`AD` là tia đối của tia `AB`
`=>hat{BAD}=180^o`
`=>hat{BAC}+hat{CAD}=hat{BAD}=180^o`
`=>hat{CAD}=180^o - 90^o = 90^o`
`=>CA` vuông góc với `BD`
`=>CA` là đường cao của `ΔBDC`
Lại có:
`AD=AB=3cm`
`=>` Đường cao `CA` đồng thời là đường trung tuyến
`=>ΔBCD` cân tại `C`
`d)`
Ta có:
`BK` vuông góc với `CD`
`=>BK` là đường cao của `ΔBCD`
Lại có:
Đường cao `BK` và đường cao `CA` giao nhau tại một điểm đó là điểm `F`
`=>` Đường cao còn lại phải đi qua điểm `F`
`=>DF` là đường cao của `ΔBCD`
`=>DF` vuông góc với `BC`
Ta có:
`{(AH⊥BC(text{AH là đường cao của ΔABC tức AH⊥BC})),(DF⊥BC(c.m.t)):}`
`=>AH////DF`
`d)`
Ta có:
`CA⊥BD` hay `FA⊥BD`
`=>FA` là đường cao của $\Delta BFD$
Lại có:
`AD=AB(text{gt})`
`=>AF` là đường trung tuyến của $\Delta BFD$
Ta có:
Đường cao `FA` đồng thời là đường trung tuyến
`=>` $\Delta BDF$ cân tại `F`
`e)`
Ta có:
$\Delta BFD$ cân tại `F`
`=>` Đường cao `AF` đồng thời là đường phân giác
`=>hat{EFA}=hat{DFA}(**)`
Lại có:
`AH////DF`
`=>hat{EAF}=hat{DFA}(text{2 góc so le trong})(** **)`
Từ `**` và `** **` 
`=>hat{EFA}=hat{EAF}`
`=>` $\Delta EAF$ cân tại `E`
`=>EA=EF`
`=>hat{BAE}=hat{ADF}(text{2 góc đồng vị})`
Mà `hat{EBA}=hat{ADF}(text{ΔBFD cân tại F})`
`=>hat{EBA}=hat{BAE}`
`=>ΔBEA` cân tại `E`
`=>BE=EA`
Mà `EA=EF`
`=>BE=EF`
Có `E` thuộc `BF`
`=>E` là trung điểm của `BF`