Đáp án:

Câu 42: $D.\ 40481\ cm^3$

Câu 43: $D. \dfrac{1361}{450}$

Giải thích các bước giải:

Câu 42:

Dễ dàng nhận thấy đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $C$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac12AC.BC = \dfrac12\cdot 30\cdot 40 = 600\ cm^2$

Sau khi gia công, đáy $\triangle ABC$ trở thành hình tròn

Do đó hình tròn tạo hình là hình tròn nội tiếp $\triangle ABC$

Gọi $r$ là bán kính của hình tròn, ta có:

$r = \dfrac{2S_{ABC}}{P_{ABC}} = \dfrac{2\cdot 600}{30 + 40 + 50} = 10\ cm$

Khi đó, thể tích khối gỗ hình trụ là:

$V = \pi r^2h = \pi\cdot 10^2\cdot 130 \approx 40841\ cm^3$

Câu 43:

$\quad f(x) = \begin{cases}16x^2 - 8x + 2\quad khi\quad x \geqslant \dfrac14\\2\sqrt x\qquad\qquad\quad khi\quad x < \dfrac14\end{cases}$

Xét $I_1 = \displaystyle\int\limits_{-\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{2}}\sin2xf(\sin^2x)dx$

Đặt $u = \sin^2x$

$\Rightarrow du = \sin2xdx$

Đổi cận:

$\begin{array}{c|ccc}x&-\dfrac{\pi}{6}&&&\dfrac{\pi}{2}\\\hline u&\dfrac14&&&1\end{array}$

Ta được:

$\quad I_1 = \displaystyle\int\limits_{\tfrac14}^1f(u)du$

$\Leftrightarrow I_1 = \displaystyle\int\limits_{\tfrac14}^1(16u^2 - 8u + 2)du$

$\Leftrightarrow I_1 = \left(\dfrac{16}{3}u^3 - 4u^2 + 2u\right)\Bigg|_{\tfrac14}^1$

$\Leftrightarrow I_1 = 3$

Xét $I_2 = \displaystyle\int\limits_{\sqrt[6]{e}}^{\sqrt[5]{e}}\dfrac{f^2(\ln x)}{x}dx$

Đặt $t = \ln x$

$\Rightarrow dt = \dfrac{1}{x}dx$

Đổi cận:

$\begin{array}{c|ccc}x&\sqrt[6]e&&&\sqrt[5]e\\\hline t&\dfrac16&&&\dfrac15\end{array}$

Ta được:

$\quad I_2 = \displaystyle\int\limits_{\tfrac16}^{\tfrac15}f^2(t)dt$

$\Leftrightarrow I_2 = \displaystyle\int\limits_{\tfrac16}^{\tfrac15}\left(2\sqrt t\right)^2dt$

$\Leftrightarrow I_2 = \displaystyle\int\limits_{\tfrac16}^{\tfrac15}4tdt$

$\Leftrightarrow I_2 = 2t^2\Bigg|_{\tfrac16}^{\tfrac15}$

$\Leftrightarrow I_2 = \dfrac{11}{450}$

Do đó ta được:

$\quad I = I_1 + I_2 = 3 + \dfrac{11}{450} = \dfrac{1361}{450}$