a/ Xét $ΔABC$ và $ΔHBA$:

$\widehat B:chung$

$\widehat{BAC}=\widehat{BHA}(=90^\circ)$

$→ΔABC\backsim ΔHBA(g-g)$

b/ $ΔABC\backsim ΔHBA$

$→\dfrac{AB}{BC}=\dfrac{HB}{AB}$

$↔AB^2=BC.HB\\↔AB=\sqrt{BC.HB}=\sqrt{4.13}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}(cm)$

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔABC$ vuông tại $A$

$→AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{13^2-(2\sqrt{13})^2}=\sqrt{117}=3\sqrt{13}(cm)$

$ΔABC\backsim ΔHBA$

$→\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{AH}{AB}\\↔AC.AB=BC.AH\\↔AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{2\sqrt{13}.3\sqrt{13}}{13}=6(cm)$

c/ $ΔABC\backsim ΔHBA\\→\widehat{BAH}=\widehat{BCA}$

hay $\widehat{EAH}=\widehat{FCH}$

Ta có: $\widehat{EHA},\widehat{FHC}$ cùng phụ $\widehat{AHF}$

$→\widehat{EHA}=\widehat{FHC}$

Xét $ΔEHA$ và $ΔFHC$:

$\widehat{EHA}=\widehat{FHC}(cmt)$

$\widehat{EAH}=\widehat{FCH}(cmt)$

$→ΔEHA\backsim ΔFHC(g-g)$

$→\dfrac{AE}{AH}=\dfrac{CF}{CH}$

$↔AE.CH=AH.FC$

d/ Kẻ $HD⊥AB,HG⊥AC$

$HD$ là hình chiếu đường xiên $HE$

$→HE≥HD↔HE^2≥HD^2$

$HG$ là hình chiếu đường xiên $HF$

$→HF≥HG↔HF^2≥HG^2$

Xét tứ giác $ADHG$:

$\widehat A=\widehat D=\widehat G=90^\circ$

$→ADHG$ là hình chữ nhật

$→\widehat{DHG}=90^\circ$

$→ΔDHG$ là tam giác vuông

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔEHF$ vuông tại $H$ và $ΔDHG$ vuông tại $H$

$HE^2+HF^2=EF^2\\HD^2+HG^2=DG^2$

mà $HE^2≥HD^2,HF^2≥HG^2$

$→HE^2+HF^2≥HD^2+HG^2\\↔EF^2≥DG^2\\↔EF≥DG$

$→$ Dấu "=" xảy ra khi $E≡D,F≡G$

Vậy $EF$ có độ dài nhỏ nhất khi $E≡D$