Giải

                I chia AB thành 2 phần bằng nhau hay AI= IB= 1/2AB

                  Ta có

               - s.ABCD = AB × AD

               - s.ABD = AB × AD ÷ 2 = 1/2s.ABCD

               - s.AID = 1/2s.ABD (chung chiều cao hạ từ D xuống AB, đáy AI= 1/2AB)

                  Như vậy s.AID = 1/2s.ABCD × 1/2 = 1/4s.ABCD (1)

                  Lại thấy s.DIB =s.AID (chung chiều cao hạ từ D xuống AB, đáy BI = AI)

                  Suy ra s.DIB = 1/4s.ABCD

                  Tiếp theo ta có

                   - s.BIC = BI× BC÷2 = 1/2AB×BC÷2 = 1/4s.ABCD

                   - s.DIC = s.ABCD -s.ADI -s.BIC

                   = 1- 1/4 - 1/4 = 1/2s.ABCD

                   - s.DIC/ s.BIC = 1/2 ÷ 1/4 = 2

                   Mà DIC và BIC chung đáy IC nên suy ra chiều cao tương ứng hạ từ D xuống IC bằng 2 lần chiều cao tương ứng hạ từ B xuống IC

                   Đó cũng là tỉ số hai chiều cao tương ứng của AIK và BIK. Vì hai tg này chung đáy IK nên                      s.DIK = 2s.BIK

                    Do đó s.DIK/s.BIk = 2/1

                    Hay s.DIK/ s.DIB = 2/3

                    Vì vậy s.DIK = 1/4s.ABCD ×2/3 = 1/6s.ABCD (2)

                    Từ (1) và (2) suy ra

                    s.AIKD = s.AID + s.DIK = 1/4 + 1/6 = 5/12s.ABCD

                    Như vậy s.ABCD bằng

                       20 ÷ 5/12 = 48 cm2

Đáp án:

$\downarrow\!\overleftarrow{\underrightarrow{48\,cm^2}}\!\uparrow$

Giải thích các bước giải:

Ta có đoạn thẳng BD chia cắt hình chữ nhật thành 2 hình tam giác bằng nhau hay diện tích hình tam giác ABD bằng $\dfrac12$ diện tích hình chữ nhật ABCD.

Vì I là trung điểm của AB nên AI bằng BI bằng $\dfrac12$ AB.

Do AI bằng $\dfrac12$ AB nên diện tích hình tam giác ADI bằng $\dfrac12$ diện tích hình tam giác ABD hay $\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac14$ diện tích hình chữ nhật ABCD.

Ta thấy hình tam giác DIC có đáy DC bằng 2. lần đáy IB của hình tam giác BIC nên diện tích hình tam giác DIC gấp $2$ lần diện tích hình tam giác BIC.

Hai hình tam giác có chung đáy IC. Vì diện tích DIC bằng 2 lần BIC nên DK gấp 2 lần BK hay BK bằng $\dfrac12$ CK và bằng $\dfrac13$ BC.

IK bằng $\dfrac13$ IC nên diện tích hình tam giác DIK bằng $\dfrac13$ diện tích hình tam giác DIC hay bằng $\dfrac12\times\dfrac13=\dfrac16$ diện tích hình chữ nhật ABCD. 

Suy ra diện tích hình tứ giác ADKI bằng $\dfrac14+\dfrac16=\dfrac{5}{12}$ diện tích hình chữ nhật ABCD.

Diện tích hình tam giác chữ nhật ABCD là:

          $20:\dfrac{5}{12}=48$ (cm$^2$)

              Đáp số: $48\,cm^2$.

$\small\uparrow \!\overrightarrow{\underleftarrow{\color{transparent}{2}}}\!\downarrow$