Giải thích các bước giải:

 +Vì M là trung điểm BD và N là trung điểm BC 

⇒ MN là đường trung bình của ΔDBC

⇒ MN \\ AC hay MN \\ AI (1)

+ Xét Δ vuông ABD có: AM là đường trung tuyến nên $AM=MD=BD=\dfrac{1}{2}BD$

Vì BD là phân giác ⇒ $\widehat{ABD}=30^0⇔\widehat{ADB}=60^0$

⇒ Δ AMD là Δ đều

+ Vì N là trung điểm BC và I là trung điểm DC 

⇒ NI là đường trung bình của Δ BDC ⇒  NI\\MD

⇒$\widehat{NID}=\widehat{MDA}$ ( hai góc so le trong)

Hay $\widehat{NID}=\widehat{ADB}=60^0$ 

⇒$\widehat{NID}=\widehat{MAD}$ (2)

Từ (1) và ( 2) ⇒ tứ giác AMNI là hình thang cân.

b)  $cos \widehat {ABD}=\dfrac{AB}{BD}$⇒ $BD=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$

⇒$AM= NI=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

Δ BDC có: $BD= DC$⇒ΔBDC cân tại D⇒ $AD=MN=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}$

+ $AI= AD+ DI=\dfrac{8\sqrt{3}}{3}$