Lời giải:

Ta có:

$H$ là trực tâm của $\triangle ABC$

$\Rightarrow AH\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{HAB} + \widehat{ABC} = 90^\circ\qquad (1)$

Ta lại có:

$O$ là giao điểm ba đường trung trực

$\Rightarrow OM\perp BC$

$\Rightarrow \widehat{OMC} = 90^\circ$

$\Rightarrow \widehat{OMN} + \widehat{NMC} = 90^\circ\qquad (2)$

Bên cạnh đó:

$\begin{cases}BM = MC = \dfrac12BC\\AN = NC = \dfrac12AC\end{cases}$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\Rightarrow \begin{cases}MN//AB\\MN = \dfrac12AB\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{ABC} = \widehat{NMC}$ (đồng vị) $(3)$

Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow \widehat{HAB} = \widehat{OMN}$

Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat{HBA} = \widehat{ONM}$

Xét $\triangle HAB$ và $\triangle OMN$ có:

$\begin{cases}\widehat{HAB} = \widehat{OMN}\\\widehat{HBA} = \widehat{ONM}\end{cases}\quad (cmt)$

Do đó: $\triangle HAB\backsim \triangle OMN \ (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{HA}{OM} = \dfrac{AB}{MN} =2$

Mặt khác: $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$

$\Rightarrow \dfrac{AG}{GM} = 2$

$\Rightarrow \dfrac{HA}{OM} =\dfrac{AG}{GM}$

Xét $\triangle GHA$ và $\triangle GOM$ có:

$\begin{cases}\dfrac{HA}{OM} =\dfrac{AG}{GM}\\\widehat{GAH} = \widehat{GMO}\quad \text{(so le trong)}\end{cases}$

Do đó: $\triangle GHA\backsim \triangle GOM\ (c.g.c)$