$y=f(x)$ là hàm bậc 4 có $f(0)=0$ nên có dạng: $y=f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx$

$\to f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d$

$f'(0)=-3\to d=-3$

$f'(1)=-2\to 4a+3b+2c+d=-2$        

$f''(x)=12ax^2+6bx+2c$

$x=0$ và $x=1$ là hai điểm cực trị của hàm $f'(x)$ nên $f''(0)=f''(1)=0$

$\to 2c=0; 12a+6b+2c=0$

Giải hệ 4 ẩn $\to a=\dfrac{-1}{2}; b=1; c=0; d=-3$

Vậy $f'(x)=-2x^3+3x^2-3$

Dựa vào bảng biến thiên của $y = f'(x)$ ta được:

$f'(x)$ có dạng hàm bậc $3:\ y = f'(x) = g(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$

$\Rightarrow y' = g'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$

Đồ thị đi qua $(0;-3)$ và $(1;-2)$

$\begin{cases}d = - 3\\a + b + c + d = -2\end{cases}$

Đồ thị nhận $x =0$ và $x = 1$ là hai điểm cực trị

$\begin{cases}c = 0\\3a + 2b + c = 0\end{cases}$

Do đó ta được hệ phương trình:

$\begin{cases}a + b + c + d = -2\\3a + 2b + c = 0\\c =0\\d = -3\end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a = -2\\b = 3\\c = -3\end{cases}$

Vậy $f'(x) = - 2x^3 + 3x^2 - 3$

$\Rightarrow f(x) = \displaystyle\int f'(x)dx$

$\Rightarrow f(x) = \displaystyle\int (-2x^3 + 3x^2 - 3)dx$

$\Rightarrow f(x) = - \dfrac{1}{2}x^4 + x^3 - 3x + C$

Lại có: $f(0)= 0$

$\Leftrightarrow C= 0$

Vậy $f(x)= - \dfrac{1}{2}x^4 + x^3 - 3x$