Đáp án:

$\\$

`a,`

Xét `ΔBCD` và `ΔMAD` có :

`DB = DM` (giả thiết)

`AD = CD` (Do `D` là trung điểm của `AC`)

`hat{ADM} = hat{CDB}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔBCD = ΔMAD` (cạnh - góc - cạnh)

$\\$

$\\$

$b,$

Xét `ΔADB` và `ΔCDM` có :

`DB = DM` (giả thiết)

`AD = CD` (Do `D` là trung điểm của `AC`)

`hat{ADB} = hat{CDM}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔADB = ΔCDM` (cạnh - góc - cạnh)

`-> AB = CM` (2 cạnh tương ứng)

mà `AB = AC` (Do `ΔABC` cân tại `A`)

`-> CM = AC (= AB)`

`-> ΔACM` cân tại `C`

$\\$

$\\$

$c,$

Gọi `H` là giao của `AB` và `DN (H ∈ AB)`

Do `ΔADB = ΔCDM` (chứng minh trên)

`-> hat{ABD} = hat{CMD}` (2 góc tương ứng)

hay `hat{HBD} = hat{NMD}` 

Xét `ΔHBD` và `ΔNMD` có :

`hat{HBD} = hat{NMD}` (chứng minh trên)

`DB = DM` (giả thiết)

`hat{HDB} = hat{NDM}` (2 góc đối đỉnh)

`-> ΔHBD = ΔNMD` (góc - cạnh - góc)

`-> HD= ND` (2 cạnh tương ứng)

`-> D` là trung điêm của `HN`

`-> ND = 1/2 HN`

`-> HN = 2ND`

Có : `hat{ABD} = hat{CMD}` (chứng minh trên)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ AB//CM$

`-> hat{HAN} = hat{MNA}` (2 góc so le trong)

Do `ΔBCD = ΔMAD` (chứng minh trên)

`-> hat{MAD} = hat{BCD}` (2 góc tương ứng)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong

$→ AM//BC$

Có : \(\left\{ \begin{array}{l}AM//BC\\HN//BC\end{array} \right.\)

$→ AM//HN$

`-> hat{HNA} = hat{MAN}` (2 góc so le trong)

Xét `ΔHAN` và `ΔMNA` có :

`hat{HAN} = hat{MNA}` (chứng minh trên)

`hat{HNA} = hat{MAN}` (chứng minh trên)

`AN` chung

`-> ΔHAN = ΔMNA` (góc - cạnh - góc)

`-> AM = HN` (2 cạnh tương ứng)

mà `HN = 2ND` (chứng minh trên)

`-> AM = 2ND (= HN)`

Áp dụng BĐT `Δ` cho `ΔAMG` có :

`GM + GA > AM`

mà `AM = 2 ND` (chứng minh trên)

`-> GM + GA > 2ND`