Ta cần đi chứng minh tổng bình phương hai số nguyên chia hết cho 7 thì mỗi số đó chia hết cho 7.

Chứng minh như sau:

Gọi $a,b$ là các số nguyên mà $a^2+b^2\vdots 7$

$a=7k\pm r, b=7l\pm s$ với $k,l,r,s$ là các số nguyên và $r,s \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}$

$\begin{array}{l} {a^2} + {b^2} = {\left( {7k \pm r} \right)^2} + {\left( {7l \pm s} \right)^2}\\  = 49\left( {{k^2} + {l^2}} \right) + 14\left( { \pm kr \pm ls} \right) + \left( {{r^2} + {s^2}} \right),{r^2},{s^2} \in \left\{ {0;1;4;9} \right\}\\ {a^2} + {b^2} \vdots 7 \Rightarrow {r^2} + {s^2} \vdots 7 \Rightarrow r = s = 0 \end{array}$

Từ đó ta có $x^2,y^2\vdots 7$.

Giả sử $x_0;y_0;z_0$ là nghiệm nguyên của phương trình.

Khi đó $x_0^2 + y_0^2 = 7z_0^2$. Áp dụng định lý trên ta được $x_0^2\vdots 7, y_0^2\vdots 7$

Đặt $x_0=7x_1,y_0=7x_1$ phương trình trở thành:

$\begin{array}{l} 49x_1^2 + 49x_2^2 = 7{z_0}^2\\  \Rightarrow 7x_1^2 + 7x_2^2 = z_0^2 \Rightarrow {z_0} \vdots 7\\  \Rightarrow {z_0} = 7{z_1}\\  \Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 7z_1^2 \end{array}$

Vậy $\left( {\dfrac{{{x_0}}}{7};\dfrac{{{y_0}}}{7};\dfrac{{{z_0}}}{7}} \right)$ là nghiệm của phương trình. Quá trình này tiếp tục mãi ta được

$\left( {\dfrac{{{x_0}}}{{{7^k}}};\dfrac{{{y_0}}}{{{7^k}}};\dfrac{{{z_0}}}{{{7^k}}}} \right)$ là các nghiệm nguyên của phương trình với mọi $k\in \mathbb{N}$. Điều đó chỉ xảy ra khi và chỉ khi $x_0=y_0=z_0=0$

Lùi vô hạn.

Ta có: $a\in Z\to a≡0,1,2,3,4,5,6\pmod{7}$

$\to a^2≡0,1,2,3,4\pmod{7}$

Tương tự: $b^2≡0,1,2,3,4\pmod{7} (b\in Z)$

Nếu để $a^2+b^2≡0\pmod{7}$ thì chắc chắn $a^2≡0\pmod{7},b^2≡0\pmod{7}$

Áp dụng vào bài:

$x^2+y^2=7z^2$ mà $7z^2≡0\pmod{7}$

$\to x^2+y^2≡0\pmod{7}\\\to\begin{cases} x^2≡0\pmod{7}\\y^2≡0\pmod{7} \end{cases}\\\to \begin{cases} x≡0\pmod{7}\\y≡0\pmod{7} \end{cases}$

Đặt: $x=7x_1, y=7y_1(x_1,y_1\in Z)$

Pt viết lại: $49x_1^2 +49y_1^2=7z^2$

$\to 7x_1^2 + 7y_1^2 = z^2$ mà $7x_1^2+7y_1^2≡0\pmod{7}$

$\to z^2≡0\pmod{7}\\\to z≡0\pmod{7}$

Đặt: $z=7z_1(z_1\in Z)$

Pt viết lại: $7x_1^2+7y_1^2=49z_1^2$

$\to x_1^2+y_1^2=7z_1^2$

Nếu coi $(x_1;y_1;z_1)$ là nghiệm của phương trình ban đầu thì $\left(\dfrac{x}{7};\dfrac{y}{7};\dfrac{z}{7}\right)$ cũng là nghiệm của phương trình ban đầu.

Do đó cứ chia $7$ liên tục thì ta vẫn được cặp nghiệm của phương trình ban đầu.

Tổng quát thì phương trình ban đầu có nghiệm $\left(\dfrac{x}{7^k};\dfrac{y}{7^k};\dfrac{z}{7^k}\right)(k>0)$

$\to x=y=z=0$ (T/m)

Vậy $(x;y;z)=(0;0;0)$ là nghiệm của pt.