Câu 1:

$\quad \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1 - \sqrt[4]{1 + 5x - x^2}}{\tan3x}$

$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{ - \left[\left(1 + 5x - x^2\right)^{\tfrac14} - 1\right]}{\tan3x}$

$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{-\dfrac14(5x - x^2)}{3x}$

$= \lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x- 5}{12}$

$= \dfrac{0 - 5}{12}$

$= - \dfrac{5}{12}$

Câu 2:

a) $I = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty}3xe^{-x}dx$

Đặt $\begin{cases}u = 3x\\dv = e^{-x}dx\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}du = 3dx\\v = - e^{-x}\end{cases}$

Ta được:

$\quad I = -3xe^{-x}\Bigg|_0^{+\infty} + \displaystyle\int\limits_0^{+\infty}3e^{-x}dx$

$\Leftrightarrow I = - \left(\lim\limits_{t\to +\infty}3te^{-t} - 3.0e^{0}\right)  - 3e^{-x}\Bigg|_0^{+\infty}$

$\Leftrightarrow I = -3(e^{-\infty} - e^0)$

$\Leftrightarrow I = 3$

b) Ta có:

$\quad \sqrt{3x} \leqslant 3x,\quad \forall x \geqslant \dfrac13$

$\quad \displaystyle\int\limits_0^{+\infty}3xe^{-x}dx = 3 $ hội tụ

Do đó: $I = \displaystyle\int\limits_0^{+\infty}\sqrt{3x}e^{-x}dx $ hội tụ