Giả sử có $x;y$ tự nhiên thỏa mãn đề

Đặt $\sqrt[]{x-12.\sqrt[]2}+\sqrt[]{y+12\sqrt[]2}=a(a;N)$

$⇒x-12.\sqrt[]2+y+12\sqrt[]2+2.\sqrt[]{(x-12\sqrt[]2)(y+12\sqrt[]2)}=a^2$

Hay $a^2-(x+y)=2.\sqrt[]{(x-12\sqrt[]2)(y+12\sqrt[]2)}$

Nếu $(x-12\sqrt[]2)(y+12\sqrt[]2)$ không là số chính phương suy ra $\sqrt[]{(x-12\sqrt[]2)(y+12\sqrt[]2)}$ là số vô tỉ 

$2$ hữu tỉ nên $2.\sqrt[]{(x-12\sqrt[]2)(y+12\sqrt[]2)}$ vô tỉ

Mà $a^2-(x+y)$ lại là số tự nhiên

$N∩I=$ rỗng

Nên loại

Nếu $(x-12\sqrt[]2)(y+12\sqrt[]2)$ là số chính phương

$⇒xy-12.\sqrt[]2(y-x)-288$ là số tự nhiên

Nếu $y-x$ khác $0$ 

có $y-x∈N$

$\sqrt[]2∈I$ do $2$ không là số chính phương

nên $12.\sqrt[]2.(y-x)∈I$

Suy ra $xy-12.\sqrt[]2(y-x)-288∈I$

⇒ vô lí (LOẠI)

Nếu $y-x=0⇒x=y$

Khi đó $(x-12\sqrt[]2)(y+12\sqrt[]2)=(x-12.\sqrt[]2)(x+12.\sqrt[]2)=x^2-288=m^2(m∈N)$

Khi đó $(x-m)(x+m)=288$

Có $x+m>x-m;x+m;x-m∈N;x+m;x-m$ cùng tính chẵn lẻ, $x≥12.\sqrt[]2$

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x+m=144\\x-m=2\end{cases}\\\begin{cases}x+m=72\\x-m=4\\\end{cases}\\\begin{cases}x+m=48\\x-m=6\end{cases}\\\begin{cases}x+m=36\\x-m=8\end{cases}\\\begin{cases}x+m=24\\x-m=12\end{cases}\\\begin{cases}x+m=18\\x-m=16\end{cases}\end{array} \right.\) 

$⇒x∈{73;38;27;22;18;17}$

thử lại thấy $x∈38;17$ thỏa mãn đề

Vậy...