Đáp án:

Giải thích các bước làm: 

 1) Vì AB⊥CD ⇒ ∠AOC = $90^{o}$ 

   mà CH⊥AM ⇒ ∠AHC = $90^{o}$  

  ⇒ ∠AOC = ∠AHC = $90^{o}$ ⇒ O, H cùng thuộc cung chứa góc $90^{o}$ dựng trên AC

  ⇒ A, C, H, O cùng thuộc một đường tròn ⇒ Tứ giác AOHC nội tiếp (đpcm)

2) Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOHC có: 

  ∠CAH = ∠COH ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung CH )

 Xét đường tròn (O) có: ∠CAM = ∠CDM ( 2 góc nội tiếp cùng chắn cung CM )

 ⇒ ∠COH = ∠CDM 

 mà 2 góc này ở vị trí đồng vị ⇒ OH//MD (đpcm)

3) Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCME 

  Xét đường tròn (O') có ∠CEM nội tiếp chắn cung CM 

 ⇒ sđ cung CM = 2. ∠CEM ⇒ ∠CO'M = 2. ∠CEM

 mà ΔCO'M cân tại O' (do O'C = O'M)

  ⇒ ∠MCO' = $\frac{180^o-∠CO'M}{2}$ = $90^{o}$ - $\frac{∠CO'M}{2}$  

                   = $90^{o}$ - ∠CEM (do ∠CO'M = 2. ∠CEM ) (1)

Xét đường tròn (O) có 2 đường kính AB, CD vuông góc

⇒ A là điểm chính giữa cung CD ⇒ cung AC = cung AD

⇒ sđ cung AC = sđ cung AD

Xét đường tròn (O) có ∠CEM là góc có đỉnh ở trong đường tròn

 ⇒ ∠CEM = $\frac{1}{2}$ ( sđ cung AD + sđ cung CM )

                = $\frac{1}{2}$ (sđ cung AC + sđ cung CM ) = $\frac{1}{2}$ sđ cung AM

mà ∠ABM nội tiếp chắn cung AM ⇒ ∠ABM = $\frac{1}{2}$ sđ cung AM

⇒ ∠CEM=∠ABM

mà ∠ABM + ∠BAM = $90^{o}$ ( do ∠AMB nội tiếp chắn nửa đường tròn )

⇒ ∠CEM + ∠BAM =  $90^{o}$ ⇒ ∠BAM = $90^{o}$ - ∠CEM 

Xét đường tròn (O) có ∠MCB=∠MAB (2 góc nội tiếp cùng chắn cung MB)

 ⇒ ∠MCB = $90^{o}$ - ∠CEM (2)

Từ (1) và (2) ⇒ ∠MCO' = ∠MCB ⇒ C, O', B thẳng hàng 

mà AB, CD cố định ⇒ BC cố định ⇒ O' ∈ BC cố định (đpcm)

        *) ∠ là góc nhé bạn