Lời giải:

Từ $A,\ B$ kẻ hai đường cao $AH,\ BK$

$\Rightarrow ABKH$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \begin{cases}AH = BK\\AB = HK = 9\ cm\end{cases}$

Đặt $DH = x\ (x > 0)$

$\Rightarrow CK = 21 - x$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$+)\quad AD^2 = AH^2 + DH^2$

$\Leftrightarrow AH^2 = AD^2 - DH^2$

$\Leftrightarrow AH^2 = 169 - x^2$

$+)\quad BC^2 = BK^2 + CK^2$

$\Leftrightarrow BK^2 = BC^2 - CK^2$

$\Leftrightarrow BK^2 = 400 - (21 - x)^2$

Do $AH = BK\Rightarrow AH^2 = BK^2$

nên ta được phương trình :

$\quad 169 - x^2 = 400 - (21- x)^2$

$\Leftrightarrow 42x =210$

$\Leftrightarrow x = 5$

$\Rightarrow DH = 5\ cm$

$\Rightarrow AH = \sqrt{169 - 25} = 12\ cm$

Khi đó:

$S_{ABCD}=\dfrac12(AB+CD).AH = \dfrac12(9 + 30)\cdot 12 = 234\ cm^2$

Kẻ đường cao $AH,BK$ ứng $DC$

$→AH⊥DC,BK⊥DC$

mà $AB//DC$

$→AH⊥AB,BK⊥AB$
Xét tứ giác $ABKH$:

$\begin{cases}\widehat{HAB}=90^\circ(AH⊥AB)\\\widehat{ABK}=90^\circ(BK⊥AB)\\\widehat{BKH}=90^\circ(BK⊥DC)\end{cases}$

$→ABKH$ là hình chữ nhật

$→AB=HK=9cm,AH=BK$

$DC=DH+KC+HK\\↔30=DH+KC+9\\↔21=DH+KC(cm)$

Áp dụng định lý Pytago vào $ΔAHD$ và $ΔBKC$ vuông tại $H,K$

$\begin{cases}AD^2=AH^2+DH^2\\BC^2=BK^2+KC^2\end{cases}\\↔\begin{cases}AD^2-DH^2=AH^2\\BC^2-KC^2=BK^2\end{cases}$

mà $AH^2=BK^2(AH=BK)$

$→AD^2-DH^2=BC^2-KC^2\\↔13^2-DH^2=20^2-KC^2\\↔169-DH^2=400-KC^2\\↔KC^2-DH^2=231\\↔(KC-DH)(KC+DH)=231\\↔(KC-DH).21=231\\↔KC-DH=11(cm)$

mà $KC+DH=21$

$→\begin{cases}KC=\dfrac{21+11}{2}=16cm\\DH=\dfrac{21-11}{2}=5cm\end{cases}$

Ta có: $AH^2=AD^2-DH^2$ hay $AH^2=13^2-5^2$

$↔AH^2=144\\↔AH=12cm$

$S_{ABCD}=\dfrac{AB+DC}{2}.AH=\dfrac{9+30}{2}.12=234(cm^2)$

Vậy $S_{ABCD}=234cm^2$